Número esperado de saltos de rana

Question

Hay rana saltando hacia adelante en una línea. Cada distancia de salto es aleatoria con una función de distribución acumulada conocida$F$. ¿Cuál es el número esperado de saltos para alcanzar (o ir más allá) la distancia$d$ desde el origen?

Si hay una Wikipedia u otra página web que describe la fórmula en términos de$F$, simplemente proporcione un enlace (profundo). Prefiero tener la prueba también.

Answer 1

Deje $X_i$ el valor de la distancia de salto de $i$ de la rana. Cada una de las $X_i$ es independiente una de la otra. La distancia total a saltar $n$ luego $D_n=X_1+\cdots+X_n$. Definir $\tau$ $D_\tau$ donde $\tau$ es la primera vez que $D_\tau\geq d$. Usted está interesado en $E(\tau)$. La distribución de $D_n$ $n$veces convolución de $F$s': $F_n = (F\star)^n:=F\star F\star\cdots \star F$.

$P(\tau> n) = P(D_n<d)$

Ahora uso $E(\tau)=\sum_{n=0}^\infty P(\tau> n)=\sum_{n=0}^\infty P(D_n<d)$

Que podemos simplificar al $F$ es continua señalando $P(D_n<d)=P(D_n\leq d)=F_n(d)$. No estoy seguro de si hay más de simplificación se puede hacer sin una forma explícita para $F$.

Answer 2

Referencia: Este problema se ha trabajado a fondo si la caminata aleatoria pasos son uniforme y continua. Véase, por ejemplo,

Russell, K. G. En el número de uniforme de variables aleatorias que se deben agregar a superar un determinado nivel. J. Appl. El Probab. 20 (1983), no. 1, 172-177.

Se trata de un conocido rompecabezas para mostrar que el número esperado de uniforme(0,1) pasos para superar el nivel 1 es $\exp(1)$. Yo estaba seguro de que esta aparece en algún lugar en este sitio, pero no puedo encontrarlo.

Answer 3

Desde que la rana es saltar hacia adelante, la variable aleatoria $X$ que denota la distancia por saltar siempre será positivo. Así que podemos usar el resultado de las expectativas de no negativo de las variables aleatorias, mostrado y demostrado aquí: entrada de Wikipedia sobre los valores esperados. El resultado nos da que $$E(X) = \int_0^{\infty} \text{Pr}(X \ge x) \; dx = \int_0^{\infty} (1-F(x)) \; dx $$

Ahora que tenemos la distancia esperada por saltar, todo lo que tenemos que hacer es dividir la distancia dada $d$ $E(X)$ y ronda adecuadamente para darnos el número esperado de salta.

Answer 4

La distribución de la función que define la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un dado de x: $P(n\leq x) = F(x)$. En este caso, x es la distancia de un solo salto.

Lo que necesitamos es el valor esperado V de la función de distribución. Para conseguir esto, queremos que la derivada de la función de distribución, $f(x) = F'(x)$, lo que produce una función conocida como la "función de densidad de probabilidad" de x. Esta función nos dirá qué tan probable es que cualquier salto es ser x unidades.

Ahora bien, dado que, el "valor esperado" de la variable aleatoria es igual a:

Este "valor esperado", como el término de los estados, es el promedio a largo plazo valor de X dado un número suficientemente grande de ensayos. Para una distribución normal, es generalmente el punto en el que $f(x)$ está en su apogeo; sin embargo muchas de las funciones de probabilidad, que no son normales (por ejemplo, la probabilidad de que un n-colindado mueren rodó a la vez mostrando una cara en particular, x es 1/n, independientemente de la x). Ahora, la ecuación es de la forma general. Sabemos que la rana siempre salta hacia adelante, y por lo tanto la distancia de salto nunca es negativo; por lo tanto, debemos resolver la integral de un límite inferior de 0:

$$E[x] = \int_0^\infty xf(x)dx$$

$E[x]$ será la longitud de la media de salto; tiene aproximadamente 50-50 disparo a ser mayor o menor, y por lo tanto dada la suficiente cantidad de saltos, la suma de cualquiera de n saltos debería ser $E[x] * n$. Ahora es la aritmética; resolver $E[x] * n >= d$ n.