Matrices de prueba (matrices diagonales)

Question

Sea$A$ y$P = \begin{bmatrix} u & v & w \end{bmatrix}$ matrices donde 3 $u$,$v$,$w$ son columnas de$P$ tales que$Au=au$ ,$Av=bv$ y$Aw=cw$ para algunos números reales$a$,$b$ y$c$. Demuestre que si$P$ es invertible, entonces

$A= P\begin{bmatrix}a & 0 & 0\\0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{bmatrix} P^{-1}$

Hice:

$\begin{bmatrix}u & v & w\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & 0 & 0\\0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{bmatrix} P^{-1}$

$= \begin{bmatrix}au & bv & cw\end{bmatrix} P^{-1} $

$= \begin{bmatrix}Au & Av & Aw\end{bmatrix} P^{-1} $

$= A \begin{bmatrix}u & v & w\end{bmatrix} P^{-1} $

$= A P P^{-1} $

$= A I $

$= A $ (QED)

¿Puedo saber si esto constituye la prueba?

Answer 1

Dado que el supuesto aquí es que si$P$ es invertible,

($P$ es invertible)$\implies$$A = P \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} P^{-1}$

Entonces, al indicar el LHS, siempre que pueda probar el RHS, entonces su prueba es sólida.