solución a la ecuación$a \cdot \cos(\theta) - b \cdot \sin(\theta) = c$

Question

Hace la ecuación

$$ a \cdot \cos(\theta) - b \cdot \sin(\theta) = c$ $ tiene una solución de formulario cerrado para$\theta$? ¿Qué pasa con el caso donde$a^2 + b^2 = 1$?

Answer 1

Sí , si esto es aceptable como formulario cerrado para usted.

Usando la fórmula, puedes resolver para$\theta$ y tener una respuesta en términos de nada más complicado que el arcsine y las raíces cuadradas.

PS

Dejaré la determinación de$$\theta=\arcsin(c/\sqrt{a^2+b^2})-\phi$ de usted como ejercicio.

Answer 2

Dado su uso de signos, tomaré ese$a,b \ge 0$. En cuyo caso, si$R = \sqrt{a^2+b^2}$ y$\alpha = \tan^{-1} \dfrac{b}{a}$ entonces

PS

y así, si$$a \cos \theta - b\sin \theta = R\cos(\theta + \alpha)$, podemos resolver la ecuación para obtener

PS

Por supuesto, esta es solo una solución; Podemos obtener los demás considerando simetrías.

Answer 3

Usando la identidad$ sin(x)^2 + cos(x)^2=1 $, tenemos,

$$a \cdot\, \cos(\theta) - b \cdot \sin(\theta) = c \Rightarrow a\sqrt{1-\sin^2(\theta)}= b \cdot \sin(\theta) + c $ $$$ \Rightarrow a^2\,(1-\sin^2(\theta)) = ( b\sin(\theta) +c)^2 $ $

PS

La ecuación anterior es cuadrática en$$ (a^2 + b^2)\sin(\theta)^2 + 2bc \sin(\theta) + (c^2-a^2)=0\,. $. Resolviendo la ecuación en$\sin(\theta)$ rendimientos,

PS

Creo que sabes cómo encontrar theta desde aquí. No olvides eso $\sin(\theta)$.