Inyectividad de una función$\frac{x}{1+|x|}$

Question

Dejar $f: \mathbb R \to (-1,1)$

$x \in $$\mathbb R$,$f(x) = \frac{x}{1+|x|} $

Demuestre que f es (1-1)

Lo que hice : $x,y \in $ $\mathbb R$

$f(x)=f(y)$ iff$$\frac{x}{1+|x|} =\frac{y}{1+|y|}\Rightarrow\left| \frac{x}{1+|x|} \right| =\left| \frac{y}{1+|y|} \right| \\\Rightarrow \frac{|x|}{1+|x|} =\frac{|y|}{1+|y|}\Rightarrow |x|=|y|$$ $ \ Rightarrow$ $ x = y$ or $ x = -y $

Si $x=-y,\frac{y}{1+|y|} =\frac{-y}{1+|y|}\Rightarrow y=-y$

Solo es válido para el valor real único de$y$ que es$0$, es decir,$f(x) \neq f(y)$ para otros valores de$y$. Por lo tanto$x=y$

Creo que no es suficiente para la inyectividad, ¿puede alguien corregirme, por favor?

Answer 1

Obtuvo ese$|x|=|y|$ y luego lo reemplaza en la primera igualdad que obtiene.

PS

Answer 2

Su prueba está bien, tal vez solo tenga que escribirla de forma un poco diferente al final:$$x=y \quad \text{or} \quad x=-y$ $ Si$x=-y$, entonces, como se muestra,$y=-y$ lo que implica$y=0$ , lo que implica en su turno$x=-y=0=y$. Si $y\neq 0$, $x=y$.

Entonces, en TODOS LOS CASOS, tienes$x=y$. La inyectividad está bien probada.