Expansión sobre el teorema del binomio.

Question

La pregunta es:

Expandir$(1-2x)^{1/2}-(1-3x)^{2/3}$ hasta el cuarto término.

Respuesta:$x + x^2/2 + 5x^3/6 + 41x^4/24$

¿Cómo debería hacerlo?

Answer 1

Sustituyendo$r=1/2$ y$y=-2x$ en la serie binomial $$ (1 + y) ^ r = 1 + \ frac {r} {{1!}} Y + \ frac {{r (r - 1 )}} {{2!}} Y ^ 2 + \ frac {{r (r - 1) (r - 2)}} {{3!}} Y ^ 3 + \ frac {{r (r - 1) (r - 2) (r - 3)}} {{4!}} y ^ 4 + \ cdots $$ da $$ (1-2x) ^ {1/2} = 1 - x - x ^ 2/2 -x ^ 3/2 - (5/8) x ^ 4 + \ cdots, $$ al sustituir$r=2/3$ y$y=-3x$ da $$ (1-3x) ^ {2/3} = 1 - 2x - x ^ 2 - (4/3) x ^ 3 - (7/3) x ^ 4 + \ cdots. $$ Ahora toma la diferencia para obtener el resultado deseado.

Answer 2

Consejo : Reemplace$x$ por$-ax$ en la serie binomial

PS

y calcular para$$\left( 1+x\right) ^{\alpha }=\sum_{k=0}^{\infty }\binom{\alpha }{k}x^{k}$,$\alpha =1/2$ y$a=2$,$\alpha =2/3$

PS

El primer término de la diferencia$a=3$ es$$\sum_{k=0}^{4}\binom{\alpha }{k}\left( -ax\right) ^{k}.$. Por lo tanto, debemos considerar en la última suma$\left( 1-2x\right) ^{1/2}-\left( 1-3x\right) ^{2/3}$ para evaluar los primeros$0$ términos no desaparecidos.

Answer 3

Las respuestas dadas por Shai Covo y Chandru hacen el truco y son probablemente lo que se pretendía. Otro método es utilizar la serie Maclaurin. Para encontrar el$k$ th término, diferencie$k$ veces, establezca$x$ en cero y divida por$k$ - factorial.