La Estructura del modelo/Homotopy Pushouts en topológico monoids?

Question

Deje que C sea la categoría de topológico monoids, es decir, la categoría de monoids en (Superior, $\times$).

1. Puede el modelo de estructura de categorías en la parte Superior (Serre fibrations, cofibrations, débil homotopy de equivalencia) se transfiera a C a lo largo de la libre y olvidadizo par de functors ?

2. ¿Cuáles son los functorial factorizations en C? Hay un cilindro de objetos en C?

Estoy principalmente interesado en la informática una homotopy pushout en la categoría C, por lo que cualquier idea de cómo hacer eso también sería útil.

Answer 1

La respuesta a la pregunta #1 es sí. Usted puede utilizar Kan del teorema de levantamiento de las estructuras del modelo (11.3.2 en Hirschhorn del libro) para obtener un modelo de estructura en $C$ tal que la debilidad de equivalencias (resp., fibrations) son los morfismos de topológico monoids que son débiles de equivalencias (resp., Serre fibrations) en el espacio subyacente. El cofibrations aquí no parece admitir una primaria descripción, tristemente. (Este modelo es la categoría Quillen equivalente a la categoría de simplicial monoids. Dependiendo de la naturaleza particular de su homotopy pushout, usted puede encontrar que es más fácil de calcular).

Answer 2

Clark Barwick la respuesta es excelente y que se debe aceptar. Esto es más de un apéndice. La categoría Superior es cofibrantly generados, por lo $\mathcal{C} =$ Mon(parte Superior) es también cofibrantly generado. La clave del papel es por Schwede y Shipley, y da las condiciones en un modelo de la categoría $\mathcal{M}$ tal que Mon$(\mathcal{M})$ es un modelo de la categoría. En el caso especial de $\mathcal{M}$ cofibrantly generado se explica cómo conseguir sus manos en la cofibrations de Lunes a$(\mathcal{M})$. Ver Teorema 4.1 en la página 8. Por supuesto, ahora que usted tiene en sus manos la fibrations, trivial fibrations, cofibrations, y trivial cofibrations pregunta (2) es también respondió. Una buena referencia para la relación con el objeto cilindro a la functorial factorizations es Hovey página 9

Además, cada elemento en la parte Superior es fibrant, por lo que el papel de arriba te da resultados aún más fuertes, lo que puede ayudarle con sus cálculos. Vea nota de 4.5 en la página 10.

Los autores también escribió un segundo documento de dar más resultados. Es aquí.

Answer 3

Es fácil describir el grupo de la finalización de un pushout, hasta homotopy. Si $Y\leftarrow X \rightarrow Z$ es el diagrama topológico de monoids, a continuación, el grupo de la finalización de la pushout es equivalente a $\Omega(BY\amalg_{BX} BZ)$, la base de bucle espacio de la pushout del diagrama de punta espacios de $BY \leftarrow BX \rightarrow BZ$.

Si su monoids son grouplike para empezar, a continuación, sus pushout es también grouplike, y esto le da una respuesta.