Comutatividad de$Y^j$.

Question

$U \subset \mathbb{R}^k$ y$V \subset \mathbb{R}^l$ son subconjuntos abiertos. Deje$f: V \to U$ para suavizar. Use$x_1, \dots, x_k$ para las funciones de coordenadas estándar en$\mathbb{R}^k$ y$y_1, \dots, y_l$ en$\mathbb{R}^l$.

Considere un vector tangente$Y \in T_yU$ tal que$$Y = \sum_{j = 1}^l Y^j\frac{\partial}{\partial y^j}.$ $

Entonces, para mí,$Y^j$ es el escalón de un vector en el espacio tangente del dominio de$f$, ¿así que puedo moverlo? Me gusta

PS

Y lo mismo aquí ya que$$(f^*dx_i)\left(Y^j\frac{\partial}{\partial y^j}\right) = Y^j(f^*dx_i)\left(\frac{\partial}{\partial y^j}\right).$ es solo$dy_jY$:

PS

Answer 1

En una palabra, "sí". Una forma elegante de decir esto es que "los tensores son lineales sobre funciones suaves". :)