Existe iff para todos.

Question

Tengo un teorema del siguiente esquema:$Q \Leftrightarrow \exists x\in Z: P(x) \Leftrightarrow \forall x\in Z: P(x)$. ¿Cómo simplificarlo (no escribir$P(x)$ dos veces)?

Answer 1

Tu pregunta es ambigua, pues se han escrito, ya que no está claro si vas a decir que $Q$ afirma que el bicondicional, o que las tres declaraciones son equivalentes, o que $Q$ es su teorema y es la afirmación de la equivalencia de las otras dos cláusulas. Estas son distintas afirmaciones. Muchos matemáticos escribir $P\iff Q\iff R$, cuando lo que quieren decir es $(P\iff Q)\wedge(Q\iff R)$. Las aguas cosas se han complicado aún más por la cuestión de si $Z$ es no vacío y si desea que la afirmación implica que o no.

Si te refieres a decir a decir $[Q\iff (\exists x\in Z\ P(x))]$$[Q\iff \forall x\in Z\ P(x)]$, entonces mi sugerencia sería:

• $Q$ mantiene cuando algunos, o, equivalentemente, cada elemento de a $Z$ propiedad $P$.

Pero lo que usted escribió también se podría interpretar como $Q\iff[(\exists x\in Z\ P(x))\iff (\forall x\in Z\ P(x))]$, en cuyo caso mi sugerencia sería:

• $Q$ mantiene cuando cada elemento de a $Z$ propiedad $P$, si alguno lo hace.

La formulación presupone $Z$ es conocido por ser no vacío de antemano. Si queremos que esto sea parte de la afirmación (parte de $Q$?), entonces podría ser que usted desea:

• $Q$ tiene al $Z$ es no vacío, y cada elemento de a $Z$ propiedad $P$, si alguno lo hace.

Por último, tal vez quiere decir simplemente que $Q$ es su teorema, y se afirma la equivalencia de las demás cláusulas. (Tenga en cuenta que $Q$ no aparece en Joriki y user6312 respuestas, que evidentemente se interpretan a su pregunta de esta manera.) En este caso, por supuesto, no es necesario mencionar a $Q$. Así que si su teorema simplemente es $[\exists x\in Z\ P(x)]\iff [\forall x\in Z\ P(x)]$, entonces le sugiero:

• $Z$ es no vacío y cada elemento de a $Z$ propiedad $P$, si alguno lo hace.

Answer 2

PS

Answer 3

Creo que la mayoría de la gente iba a escribir algo como lo siguiente:

Teorema. Los siguientes son equivalentes:

1. $Q$;

2. Existe $x \in Z$ tal que $P(x)$;

3. Para cada $x \in Z$, $P(x)$.

Por la misma razón, creo que la mayoría de los lectores sería más fácil de leer (porque ellos están acostumbrados a ver esas declaraciones), en lugar de tener que descifrar algunas inteligente instrucción lógica.

Si $P(x)$ es sinónimo de una larga y complicada condición de que usted no desea escribir dos veces, me gustaría introducir algunas auxilary definición o notación. (También, de tal manera que los lectores no tienen que comprobar que el 2 y 3 realmente contienen la misma condición.)

Answer 4

Usando notación semi-formal, uno podría escribir

PS

Hay formas más formales (pero menos legibles) de escribir lo mismo.