Mapa equivalente, ¿cómo veo que la adición de un entrelazador invertible y no invertible es invertible?

Question

Deje $A$ $k$- álgebra y $\rho$ de un número finito de dimensiones representación de $A$ que no admite un no trivial de descomposición $\rho = \rho_1 \oplus \rho_2$ como una suma directa de dos distinto de cero subrepresentations, es decir, $\rho$ es indecomposable. Vamos $x$, $y \in \text{Hom}_A(\rho, \rho)$ ser un par de intertwiners tal que $x$ es invertible y $y$ no es invertible. ¿Cómo puedo ver que el mapa de $x + y$ es invertible?

De acuerdo a Wikipedia aquí, la definición de intertwiner es como sigue.

En teoría de la representación, de un espacio vectorial equipado con un grupo que actúa mediante transformaciones lineales del espacio se llama una representación lineal del grupo. Lineal en el mapa que conmuta con la acción se llama intertwiner. Es decir, un intertwiner es sólo un equivariant lineal mapa lineal entre dos representaciones. Alternativamente, un intertwiner para las representaciones de un grupo de $G$ sobre un campo $K$ es la misma cosa como un módulo de homomorphism de $K[G]$-módulos, donde $K[G]$ es el anillo de grupo de $G$.

Answer 1

Suponemos que a $\rho$ es una representación de $A$ en el finito dimensionales $k$-espacio vectorial $V$. Vamos a mostrar que $y$ es nilpotent. Considerar la secuencia de $y^n, n$ un entero. Desde $dim(V)<\infty$ existe $N$, de tal manera que para $n>N, Im(y^n)=Im(y^N), ker(y^n)=ker(y^N)$. Vamos $n>N$, $ker(y^n)\cap Im(y^n)=\{0\}$. Para ver esto consideremos $u\in ker(y^n)\cap Im(y^n)$ existe $v\in V$ tal que $y^n(v)=u, y^{2n}(v)=y^n(u)=0$, esto implica que $v\in ker(y^{2n})=ker(y^n)$. Esto implica que $y^n(v)=u=0$.

Deje $a\in A$, e $u\in ker(y^n), y^n(\rho(a)u)=\rho(a)(y^n(u))=0$ deje $v\in Im(y^n)$, escribir $v=y^n(u), \rho(a)(v)=\rho(a)(y^n(u))=y^n(\rho(a)u)$. Esto implica que $Im(y^n)$ $ker(y^n)$ son estables por $\rho$, ya que el $Im(y^n)\cap ker(y^n)=0$$dim(ker(y^n))+dim(Im(y^n))=dim(V)$, podemos deducir que $V=ker(y^n)\oplus Im(y^n))$ desde $V$ es indecomposable, podemos deducir que $ker(y^n)=0$ o $Im(y^n)=0$. El hecho de que $ker(y^n)=0$ es equivalente a decir que el $y^n$ es invertible, y en lo sucesivo $y$ es invertible, ya que hemos supuesto que $y$ a no es invertible, podemos deducir que $Im(y^n)=0$ $y$ es nilpotent.

La observación de que $ker(y)\subset ker(x^{-1}y)$ desde $x^{-1}y$ es interwinable, podemos deducir que también es nilpotent desde su núcleo no es cero. Supongamos que $(x^{-1}v)^n=0$ Tenemos $(Id_V+x^{-1}v)(Id_V+(-x^{-1}y)+(-x^{-1}y)^2+..+(-x^{-1}y)^{n-1})=Id_V+(-1)^{n-1}(x^{-1}y)^n=Id_V$. Podemos deducir que $Id_V+x^{-1}y$ es invertible, esto implica que $x(Id_V+x^{-1}y)=x+y$ es invertible, ya que es la composición de la invertible morfismos.