Encuentre todos los ceros de la ecuación$e^z = 1+2z$ en el disco de la unidad.

Question

Intenté resolver el par de ecuaciones \begin{align} e^x\cos y&=1+2x\\ e^x\sin y&= 2y \end {align} pero me quedé atascado.

Answer 1

deje $f(z) = e^{z}$$g(z) = -(1+2z)$, a continuación, en el límite $e^{i\theta}$,

$$ |f(z)| = |e^{\cos \theta}| < \sqrt{5 + 4 \cos(\theta)} \tag{1}$$ Desde $g(z)$ tiene una raíz en $|z|<1$, por el Teorema de Rouché $f(z)+g(z)$ tiene una raíz en $|z|< 1 $. En particular, $z=0$ satisface la ecuación y es sólo la raíz de la enfermedad.

Para mostrar que $(1)$ sostiene, uno puede simplemente mostrar que $h(x) = e^x - \sqrt{5 + 4x}$ es suave de la función en $[1,1]$ $h(x)$ tiene el mínimo valor de $3-e$$x=1$.

Answer 2

Sugerencia: una solución es bastante fácil. También pasa a ser el único.