Si "envolvemos" las coordenadas en el plano obtenemos la superficie del toro, ¿qué obtenemos cuando envolvemos las coordenadas en el cubo?

Question

En los juegos de ordenador, a menudo podemos ver mundos que son como planos finitos, cuyos bordes opuestos están cosidos (si subes, terminas en el fondo, si a la izquierda - a la derecha). La superficie que tenemos parece ser un toro.

Me pregunto, ¿qué obtenemos, si vamos a las coordenadas 3d, "envolventes" en el cubo? Creo que deberíamos obtener alguna cifra en 4D, sin embargo, me rompí la cabeza al tratar de imaginar en mi cabeza lo que obtenemos.

¿Alguien sabe cuál es la figura, cómo encontrarla e imaginarla?

EDITAR: He encontrado esta imagen en Internet:

¿Es la figura de la derecha ("toro" con 3 agujeros) la que estoy buscando? Supongo que no, porque la figura interior de la izquierda no tiene bordes de cubo.

Answer 1

Comienza con $1$ dimensión: qué se obtiene al unir los puntos extremos del segmento de línea $[0,1]$ ? Se obtiene un círculo, $S^1$ .

Cuando se unen los bordes opuestos de $[0,1] \times [0,1]$ se obtiene, como dices, el toro "plano", $S^1 \times S^1$ .

Es fácil entonces entender lo que sucede en general: el $n$ -cubo de dimensiones $[0,1] ^n$ tiene $n$ pares de "caras" opuestas (que, a su vez, son $n-1$ -cubos de dimensiones). Cuando se identifican estas caras opuestas se obtiene un $n$ -toro de dimensiones, $(S^1)^n = \underbrace{S^1 \times \dots \times S^1} _{n \text{ times}}$ .