Teorema de convergencia dominada por Lebesgue con convergencia en la medida

Question

Tengo un problema con la solución del siguiente problema. Ahora quiero demostrar que el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue sigue funcionando cuando la condición $\{ f_{n} \}$ converge a $f$ a.e. se sustituye por $\{ f_{n} \}$ converge a $f$ en medida.

Tranquilo, sé que mucha gente ya ha hecho esta pregunta. Pero lo que no entiendo es que las soluciones que he encontrado en la red insisten en trabajar con una subsecuencia en lugar de sólo una subsecuencia. Por ejemplo, la siguiente es una respuesta expresa que resumo de alguien:

Podemos tomar una subsecuencia $\{f_{n_{k}} \}$ converge a $f$ en medida. Entonces, por una proposición demostrada, hay una subsecuencia $\{f_{n_{k_{l}}} \}$ converge a $f$ a.e.. Entonces se reduce a las condiciones habituales de la LDCT y podemos tener la conclusión.

Pero, ¿qué tal si simplifico un poco? ¿No puedo simplemente tomar una subsecuencia $\{f_{n_{k}} \}$ que converge a $f$ a.e. y tener la conclusión? No veo la necesidad de tomar una subsecuencia que converja a $f$ en medida primero. ¿Es realmente necesario?

Answer 1

Si $f_n$ converge a $f$ en medida entonces hay una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge a $f$ en casi todas partes, por lo que podríamos aplicar la convergencia dominada por Lebsegue a esa subsecuencia que no es lo suficientemente bueno.

Así que la prueba parece necesitar una subsecuencia como la siguiente:

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Supongamos que $|f_n(x)|\leq g(x)$ para todos $x \in X$ , $\int g < \infty$ y $f_n$ converge a $f$ en medida. Entonces $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \int f_n = \int f $$

Prueba: Supongamos que no (llegamos a una contradicción). Entonces hay un $\epsilon>0$ y una subsecuencia $f_{n_k}$ tal que $$\left|\int f_{n_k} - \int f\right| \geq \epsilon \quad \forall k \in \{1, 2, 3, ...\} \quad \mbox{ (Eq. 1)}$$ Ahora $f_{n_k}$ converge a $f$ en medida por lo que hay una subsecuencia $f_{n_{k[m]}}$ que converge a $f$ casi en todas partes. Así que el teorema habitual de convergencia dominada por Lebsegue se aplica a esa subsecuencia para asegurar $$ \lim_{m\rightarrow\infty}\int f_{n_{k[m]}} = \int f$$ lo que contradice la (Ec. 1). $\Box$