Pregunta sobre la regla de las cuotas.

Question

A través del libro de texto, me enseñaron la regla$\frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt\frac{a}{b}$, sin embargo, me di cuenta de que si se supone que todos los números son reales y$a<0 ,b<0$, entonces la regla no es verdadera como$\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt\frac{a}{b}$, mientras que en$\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$, el proceso lo hace inválido como raíz cuadrada de números negativos es imposible. Entonces, ¿significa esto que la regla de las probabilidades (multiplicación de las respuestas incluidas) no es válida para los números negativos? ¿O significa que hay que introducir números complejos en todos los casos?

Answer 1

Para todos los números reales no negativos $a$ $b$ ( $b > 0$ ), tenemos $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}. $$ Después de eso, todas las apuestas están apagadas. El problema básico es que la función de $x \mapsto x^2$ no es inyectiva (uno a uno) a través de los números reales. Por lo tanto para definir el director de la raíz cuadrada, que es lo que el surd representa, debemos restringir el dominio de esta función a la de los números reales no negativos. Por lo tanto, si estamos trabajando con variables reales, entonces, por ejemplo, $\sqrt{a}$ es un disparate para $a < 0$.

Bueno, a lo real de las variables de causar problemas. Lo que si trabajamos con variables complejas, en lugar? Por desgracia, incluso si somos cuidadosos, por lo general, no puede obtener el "surd regla" funciona como desea. Por ejemplo, si pudiéramos extender, podríamos tener $$ 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{-1}^2 = i^2 = -1, $$ lo que está claro tonterías. De nuevo el problema se reduce a cómo definimos la función de raíz cuadrada, y en qué dominio de definición que tiene. En general, existen dos posibles opciones, y estas opciones son más o menos arbitrarias.

Answer 2

El principal problema es $\sqrt{\cdot}$ no está definida para valores negativos como usted ha señalado. Mientras que usted puede encontrar los números de esa plaza para los números negativos los números complejos, el problema es que no hay manera natural a elegir. Es decir, $i$ $-i$ son esencialmente indistinguibles (me refiero matemáticamente. Nuestra notación nos permite distinguirlos, pero que esencialmente sólo recogió uno de los dos al azar y se llama eso $i$ y el otro $-i$. No importa cual hemos llamado la cual.) Así, si bien se puede definir una función continua, $s: \Bbb{R}\to\Bbb{C}$, de tal manera que $s(x)^2 = x$ todos los $x\in \Bbb{R}$, por decir $$s(x) := \begin{cases}\sqrt{x} & x\ge 0 \\ i\sqrt{|x|} & x < 0, \end{cases}$$ si usted comprueba para ver si este satisface $s(xy)=s(x)s(y)$ o $s(x/y)=s(x)/s(y)$, verás que éste no cumpla cualquiera excepto en casos especiales.

Answer 3

Usted debe comenzar con la definición de la raíz cuadrada y el conjunto de números que se está trabajando. En los reales $\sqrt x$ sólo está definida para $x \ge 0$ y el resultado se define a ser no negativo. Que le hace un bien a la función definida y la regla que citar depende de eso. Si usted está trabajando en los reales y $a,b \gt 0$, $\frac {\sqrt {-a}}{\sqrt {-b}}$ no está definido. Si usted puede hacer sentido de ella por ir al campo complejo es inmaterial. Hay una tentación de decir $\sqrt {-a}=i\sqrt a$, pero no hay manera de distinguir que de $-i\sqrt a$. Esto puede ser útil para la exploración de problemas, debido a que no siempre causa un problema. Si usted lo usa, usted necesita para deshacerse de él en su respuesta final. Si usted está trabajando en el complejo los números de $\sqrt a$ tiene un conjunto infinito de valores hasta que se elija una rama de la raíz cuadrada. La identidad que usted cita no sostener más a causa de la rama de elección.

Answer 4

Incluso si se define la raíz cuadrada en todos los números reales tales que a $\sqrt{-1} = i$, todavía no tenemos tales bienes, de lo contrario:

(INCORRECTO) $\dfrac{1}{i} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \overset{???}= \sqrt{\dfrac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i$ y, por tanto,$1 \overset{???}= i^2 = -1$.

Línea de fondo: Usted debe asegurarse de que su libro de texto es un matemáticamente correcto, y no tratar de simplemente memorizar matemático 'hechos'. Cada teorema de matemáticas tiene una adecuada prueba, y la más rigurosa de las matemáticas se aprende más vas a entender que no hay tal cosa como un azar 'derecho' a ser seguido.