Cómo demostrar a $\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^n{x}}{(1+r^2-2r\cos{x})^{(n+2)/2}}\,\mathrm dx=\frac{1}{1-r^2}\int_{0}^{\pi}\sin^n{x}\,\mathrm dx$

Question

Demostrar que

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\sin^n{x}}{(1+r^2-2r\cos{x})^{(n+2)/2}}\,\mathrm dx=\dfrac{1}{1-r^2}\int_{0}^{\pi}\sin^n{x}\,\mathrm dx,$$ donde $n\ge 1, n\in \Bbb N,|r|<1.$

Creo que el uso de $$\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos{x}+r^2}=1+2\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}r^m\cos{(mx)},$$ donde $|r|<1.$

Pero es muy feo.

Answer 1

La integral en el lado izquierdo es un parcial caso de la fórmula 3.665.2 de Gradshteyn & Ryzhik. La integral en el lado derecho también es bien conocido (ibid 3.621.1 ). No encuentro la motivación para reinventar la rueda.