Suma de uniformes (5,10) variables aleatorias para obtener más de 30

Question

Deje $X_i$ ser yo.yo.d. $Uniform(5,10)$, y deje $Y_t = \sum_{i=1}^t X_i$. Deje $T = \mbox{inf}\{t:Y_t \geq 30\}$, lo $\mathbb{E}[T]$?

Al principio pensé que esto era similar a la de Elegir un número al azar entre $0$ e $1$ y constancia de su valor. Siga haciendo esto hasta que la suma de los números que supera $1$. Cómo muchos intentos que necesitamos hacer?, pero después de probar algunos de los métodos mencionados en la pregunta que yo todavía no podía encontrar una solución. Sé $T$ sólo puede ser $4, 5, 6$, pero es posible calcular la parte de cada individuo de la probabilidad?

Answer 1

Deje $U_i$ ser iid Uniforme($0,1$) y deje $X_i=5+5U_i$.

Entonces $$T=\inf\left\{ t\mid U_{1}+\cdots+U_{t}\geq6-t\right\}$$ and: $$\mathbb{E}T=\sum_{n=1}^{\infty}P\left(T\geq n\right)=4+P\left(T\geq5\right)+P\left(T\geq6\right)=$$$$4+P\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}<2\right)+P\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}<1\right)\tag1$$

Con la inducción podemos demostrar que para $x\in\left[0,1\right]$ tenemos: $$P\left(\sum_{i=1}^{n}U_{i}\leq x\right)=\frac{x^{n}}{n!}$$ así que el último término en $(1)$ es igual a $\frac1{120}$.

Además de la distribución de $U_1+U_2+U_3+U_4$ es simétrica wrt $2$ , de modo que $P\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}<2\right)=\frac12$

Esto junto demuestra que: $$\mathbb ET=4+\frac12+\frac1{120}=\frac{541}{120}$$