Veo que cuando $f_{xx}\times f_{yy}-f_{xy}^2<0$ , entonces es un punto de silla. También cuando $f_{xx}\times f_{yy}-f_{xy}^2>0$ , entonces es una minima o maxima. Qué sucederá cuando $f_{xx}\times f_{yy}-f_{xy}^2=0$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría mencionar el papel de los valores propios de la arpillera y la relación con las otras respuestas.
En un punto crítico de $p_0=(x_0,y_0)$ de una función de $f(x,y)$ (es decir, $\nabla f(p_0)=0$) el local de la forma de la gráfica de $f$ todo $p_0$ está determinado por el de hesse $$ \mathrm{Hess}(p_0)=\begin{bmatrix} f_{xx}(p_0) & f_{xy}(p_0) \\ f_{xy}(p_0) & f_{yy}(p_0) \end{bmatrix}.$$
Esta es una matriz simétrica y por lo tanto diagonalisable. Los dos vectores propios $\lambda_1$, $\lambda_2$ de hesse punto en la dirección en la que la función aumenta o disminuye más. Los autovalores nos dirá si la función se eleva de las disminuciones en la dirección de estos vectores propios. Si los valores propios son no-cero, obtenemos
- $\lambda_1, \lambda_2 > 0$: un local (aislado) como mínimo.
- $\lambda_1, \lambda_2 < 0$: un local (aislado) máximo.
- $\lambda_1 >0, \lambda_2 < 0$: un saddlepoint.
Estas condiciones pueden ser expresadas en términos de $\det \mathrm{Hess(p_0)}$, pero el autovalor enfoque es más general: también funciona para las funciones con más de dos variables.
Si $f_{xx}(p_0) f_{yy}(p_0)-f_{xy}^2(p_0) =0$, que es $\det \mathrm{Hess}(p_0) = 0$, al menos un autovalor es cero. En el caso de que el otro autovalor es distinto de cero, el extremo no está aislado y que todavía podemos determinar el tipo.
- Si el otro autovalor es positivo, no es una curva de mínimos locales. Ejemplo: $f(x,y)=x^2$.
- Si el otro autovalor es negativo, hay una curva de los máximos locales. Ejemplo: $f(x,y)=-x^2$.
Si ambos valores son cero, entonces no hay ninguna conclusión general, como se muestra en los ejemplos de la smcc. A continuación, usted debe buscar en los términos de orden superior de la expansión de Taylor de $f$ como Cesareo menciona en su respuesta.
Cesar Eo
Puntos
61
Para regular $f(x,y)$ tenemos alrededor de un punto de $p_0 = (x_0,y_0)$ con $p = (x,y)$
$$ f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(p_0)(x-x_0)+f_y(p_0)(y-y_0) + \frac 12(p-p_0)^{\top}J(p_0)(p-p_0)+O(|p-p_0|^3) $$
Si a $p_0$ tenemos una relación mínima/máxima, a continuación, $f_x(p_0) = f_y(p_0) = 0$ por lo que la caracterización se realiza con la ayuda de
$$ J(p_0) = \left(\begin{array}{cc}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{array}\right)_{p_0} $$
si $\det\left(J(p_0)\right) = 0$ entonces tenemos que la ecuación cuadrática asociada a la forma, es el producto de dos líneas como por ejemplo $(x+y)^2$ la caracterización de una parabólica punto. Si $J(p_0) = 0$ la calificación debe hacerse con la primera no nulo de orden superior diferencial incluye en $O(|p-p_0|^3)$
smcc
Puntos
2884
Indefinido de Hess es suficiente pero no es condición necesaria para que un punto fijo a ser un punto de silla. Por ejemplo, la función dada por por $x^4-y^4$ tiene un (único) punto fijo $(x,y)=(0,0)$ a que el determinante de la Arpillera es cero.
Tener en cuenta también las funciones dadas por $(x+y)^2$, $-(x+y)^2$, $(x+y)^3$. En todos los casos, el factor determinante de la Arpillera es cero para todos los números reales $x$ e $y$. En el primer caso el mínimo es cero y hay muchos minimizers ($(t,-t)$ cualquier $t$) que son todos los puntos estacionarios. En el segundo caso el máximo es de cero y hay muchos maximizers ($(t,t)$ cualquier $t$) que son todos los puntos estacionarios. En el tercer caso no hay maximizers o minimizers, pero hay un montón de puntos estacionarios ($(t,-t)$ cualquier $t$). Todos estos son puntos de silla.
En caso de que usted no es consciente del estado de Hesse es: la matriz Hessiana de las matrices de segundo orden derivados de: $\begin{pmatrix}f_{xx}(x,y)& f_{xy}(x,y)\\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}$
El determinante de Hesse es negativo ($f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0$) si y sólo si el Saco es de carácter indefinido.
