Puede el cohomology desaparecen en $X$, pero en ningún tipo de restricción a hyperplane secciones?

Question

Iba a necesitar un resultado afirmar que si, por ejemplo, un local libre de gavilla $\mathcal{F}$ en un proyectiva $X$ no tiene fuga cohomology cuando están restringidos a una suave hyperplane sección, a continuación,$H^1(X, \mathcal{F}) \neq 0$, demasiado. Me temo que esto es demasiado ingenuo, así que voy a ser más específico en dos pasos, para contextualizar. También, para ser justos, debo sustituir el "complejo de gavillas" a "gavilla" (y "hypercohomology" a "cohomology").

Deje $X$ ser un proyectiva de superficie compleja, y $F^\bullet = F^1 \xrightarrow{\theta} F^2 \xrightarrow{\theta} F^3$ 3 pasos complejo de localmente libre de las poleas. Supongamos que sabemos que por cada liso hyperplane sección $i \colon C \subset X$, el hypercohomology $\mathbb{H}^1(C, i^*F^\bullet)$ de la restricción $i^*F^\bullet = i^*F^1 \xrightarrow{i^*\theta} i^*F^2$ no es cero (en mi situación, de hecho yo sé que esto tiene sólo 2 pasos). Es posible que $\mathbb{H}^1(X, F^\bullet) = 0$?

Algo más de fondo (la explicación de la, probablemente inútil, en la condición de las longitudes de los complejos). La verdad es que tengo una tv de paquete de $\mathcal{V}$$X$, con una descomposición $\mathcal{V} = \bigoplus_k U_k$ y mapas de $\theta \colon U_k \to \mathcal{A}^{1,0}(U_{k+1})$ donde $\mathcal{A}^{1,0}$ denota $(1,0)$-formas, de tal manera que $\theta \wedge \theta = 0$, es decir, para cada $k$ un complejo $$F_{X,k}^\bala = U_k \xrightarrow{\theta} \mathcal{A}^{1,0}(U_{k+1}) \xrightarrow{\theta} \mathcal{A}^{2,0}(U_{k+2}).$$ Por Lefschetz hyperplane teorema, ya que $\pi_1(C) \twoheadrightarrow \pi_1(X)$, se obtiene una inyección de $H^1(X, \mathcal{V}) \hookrightarrow H^1(C, i^*\mathcal{V})$. La anterior descomposición da una descomposición $$H^1(X, \mathcal{V}) \cong \mathbb{H}^1\big(\mathcal{V} \xrightarrow{\theta}\mathcal{A^{1,0}(V)} \xrightarrow{\theta} \mathcal{A^{2,0}(V)}\big) = \bigoplus_k \mathbb{H}^1(F_{X,k}^\bala),$$ y de hecho tenemos un análogo de la descomposición en $C$ (por supuesto, con sólo 2 pasos complejos, ya que en las curvas de $\mathcal{A}^{2,0} = 0$). El natural inyectiva mapa, a continuación, envía a$\mathbb{H}^1(F_{X,k}^\bullet)$$\mathbb{H}^1(F_{C,k}^\bullet)$, y cada restricción debe ser inyectiva. Me gustaría deducir que si el ex desaparece para algunos $k$, la última hace, también, por el mismo $k$ y al menos un suave hyperplane sección $C$ (a fortiori, en mi situación, esto implica que se desvanece para cada una de dichas $C$, pero algunos otros argumentos son necesarios).

Me disculpo de antemano por el tiempo trivial-pero-disfrazado-como-una pregunta seria, no importa cómo, básicos de la geometría algebraica siempre se me escapa...