Dos principios que involucran encuentros y uniones

Question

El conocido principio de inclusión-exclusión establece que para dos conjuntos finitos $A$ y $B$, $$|A| + |B| = |A \cap B| + |A \cup B|$$

También es un resultado simple que dados números naturales positivos $a$ y $b$, $$ab = \gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b)$$

Me llamó la atención la similitud entre estas dos fórmulas, especialmente considerando que $\cap$ y $\cup$ son las operaciones de intersección y unión en el conjunto ordenado por inclusión, mientras que $\gcd$ y $\operatorname{lcm}$ son las operaciones de intersección y unión en el conjunto de números ordenados por divisibilidad. ¿Existe algún principio general en juego aquí?

Answer 1

No sé si esto cuenta como un principio general, pero podemos ver el resultado mcd--mcm como una aplicación del IEP si pensamos en $a$ y $b$ como multiconjuntos de los factores en sus respectivas descomposiciones primas. Cuando se concibe de esta manera, la unión de estos multiconjuntos es el mcm y la intersección es el mcd.

Por ejemplo,

$$24 \to \{2,2,2, 3\} =: A$$ $$30 \to \{2,3,5\}=: B$$ $$\mathrm{mcm}(24,30) =120 \approx A\cup B = \{2,2,2,3,5\}$$ $$\mathrm{mcd}(24,30) = 6 \approx A \cap B = \{ 2,3 \}$$

Quizás estos multiconjuntos proporcionen los elementos a los que podríamos aplicar la información en el comentario de @Reveillark.