El cálculo de la inversa de una multivector

Question

Dado un multivector, ¿cuál es la manera más fácil de calcular su inversa? Para tomar un ejemplo concreto, considere la posibilidad de un bivector $ B = e_1(e_2 + e_3) $. Para calcular los $ B^{-1} $, que se puede utilizar el doble de $ B $: $$ B = e_1e_2e_3e_3 + e_1e_2e_2e_3 = I(e_3-e_2) = Ib $$ $$ BB^{-1} = 1 = Ib B^{-1} $$ $$ B^{-1} = -b^{-1}I = -\frac{b}{b^2}I$$ Pero esto no funciona para un bivector en 4 dimensiones, por ejemplo. Hay más general de la/manera más fácil?

Answer 1

No estoy seguro de dónde sacó la idea de que la recíproca debe involucrar a la dualidad. Normalmente esto se hace simplemente a través de la reversión. Deje $B^\dagger$ denotar la inversa de a $B$. A continuación, el inverso es

$$B^{-1} = \frac{B^\dagger}{B B^\dagger}$$

Para un bivector, $B^\dagger = -B$. Yo creo que esto funciona para cualquier objeto que puede ser escrito como un geométrica del producto de los vectores (es decir, que puede ser factorizado; es por ello que se trabaja para rotores y spinors), pero no me fijé en eso. Por supuesto, en la mezcla de la firma de los espacios, algo que tiene un valor null factor no es invertible.

Answer 2

Un algoritmo para calcular el inverso de un general multivector:

Comenzar con una invertible general multivector (X) de Clifford geométrica del álgebra sobre un espacio ortogonal de vectores unitarios. Post-multiplicar repetidamente por un "adecuado" Clifford número hasta un escalar (S) se alcanza; deje que el producto de la post-multiplicadores de ser (R).

Entonces tenemos (X)(R) = (S)

Pre-multiplicar a ambos lados por la necesaria inversa (I) y se divide por el escalar (S) y tenemos:

(R)/(S) = (I) que iba a ser determinado.

Para un "adecuado" general multivector o Clifford número tratamos el Reverso o la de Clifford conjugado. Me doy cuenta de que (X)(Xrev), por ejemplo, se traduce sólo en los grados invariante a la reversión; tal vez esto hubiera sido obvio de antemano para un matemático. Este elemental proceso funciona hasta la dimensión 5, pero no en la dimensión 6. Desde entonces he visto 2 o 3 artículos en la web que parecen estar de acuerdo con este resultado, pero nadie lo comenta. Por encima de dimensión 5 parece algo más sofisticado que se necesita.

Un ejemplo en la dimensión 5: (A)(Arev) = (B) da los grados B0 + B1 + B4 + B5.

B0 es el escalar y B1 es un vector; B4, B5 son el 4-vector y el pseudo-escalares.

En la dimensión 5 el pseudo-escalar los viajes con todos los vectores y plazas a +1 ; como resultado de ello podemos utilizar la dualidad a la re-organizar (B) como un paravector con coeficientes en el dúplex de números (también conocido como hiperbólico, perplejo o Estudio de los números) - que es como D0 + D1

Multiplicar por D0 - D1 para llegar a las dos caras de un número que se reduce fácilmente a un escalar.

Para la dimensión 6 y arriba me encontré con el siguiente "en principio" proceso - pero no me parecen como un eficiente:

En dim 6 (y por encima) organizar (X) como Una+Bn donde (A) y (B) están en dim 5 y n es uno de los vectores unitarios (e6), por ejemplo. Post multiplicar por C+Dn así como para eliminar e6 en el resultado. Esto se puede hacer por algo que se busca más bien como una proyección del operador como se discutió por Bouma. Repita el proceso para el paso hacia abajo de las dimensiones. No veo por qué esto no debería ser extendida a una dimensión necesaria.

Answer 3

Con respecto a la geometría del producto, si B es no nulo versor (podría ser una mezcla de firma GA), el inverso de B será:

$$B^{-1} = \frac{B^\dagger}{B B^\dagger}$$

Para un null-versor, a la inversa con respecto a la geometría del producto no existe.