No Inmediato Sucesor? No Hay Elemento Más Grande?

Question

Estoy leyendo a través de la prueba del siguiente teorema de Munkres' topología:

Cada conjunto ordenado $X$ es normal en el orden de la topología.

Aquí está una preocupante cita de Munkres'

Podemos afirmar que cada intervalo de la forma $(x,y]$ está abierto en $X$: Si $X$ tiene un elemento más grande y $y$ es que el elemento, a continuación, $(x,y]$ es sólo un elemento base sobre la $y$. Si $y$ no es el elemento más grande de $X$, $(x,y]$ es igual a el conjunto abierto $(x,y')$ donde $y'$ es el inmediato sucesor de $y$.

En primer lugar, lo que si $y$ no es el elemento más grande; le $(x,y]$ abierto? En segundo lugar, lo que si $y$ no tiene ningún inmediato sucesor? No me acaba de seguir Munkres de razonamiento.

Answer 1

Cada elemento de a $s$ en un conjunto ordenado tiene un inmediato sucesor, excepto posiblemente el mayor elemento.

Prueba: consideremos el conjunto $X$ de los elementos de la $t$ tal que $t>s$. ¿Qué hace el bien el fin de informarle acerca de $X$?

Answer 2

Suponga $y$ no es el mayor elemento en $X$.

$X$ es un conjunto ordenado. (Que los reales y los racionales no son lo que hace que todo acerca de Munkres' argumento en contra de la intuición. Es decir, la "costumbre" significado de "<" no es un bien-ordenó uno de ellos.)

Por lo $S = \{s \in X|s > y\}$ tienen al menos un elemento. Llamarlo $y'$.

Luego tenemos a $v < y' \iff v \le y$ (a la que nunca será el caso si $X$ fueron los números reales en virtud de la "costumbre" de la orden.)

Por lo $(x, y] = \{v \in X| x < v \le y\} = \{v \in X|x < v < y'\} = (x,y')$ que es un conjunto abierto.

Si $y$ es el mayor elemento en $S$. A continuación, $(x,y] = \{v\in X| v > x\}=(x,\infty)$ [si Munkres que utiliza la notación] y que es una base de conjunto abierto.

De cualquier manera $(x,y]$ es un conjunto abierto.

.....

Esta es, obviamente, muy diferente a la de los racionales o los reales, donde nunca habrá ninguna $y$ $y'$ donde $(x , y] = (x,y')$. Sin embargo, en $X = \mathbb Z$$(x ,y] = \{n| x < n \le y\} = \{n|x < n < y+1\} = (x,y+1)$.

Answer 3

Si $y$ no es el elemento más grande, entonces se tendrá un inmediato sucesor. Si $y$ tiene un inmediato sucesor, entonces no es el elemento más grande. En cualquier caso, se puede demostrar que los $(x, y]$ está abierto. Esto cubre todas las posibilidades.