rodar un dado dos veces. Calcular la covarianza $\mathbb{C}ov(X,Y)$ . Calcular el coeficiente de correlación.

Question

Aquí está la situación: Tenemos un rollo de una feria de dados $2$ veces. ( independiente )

$a)$ $X$ indica el número de la primera tirada; $Y$ denota la suma de los dos tiros. Calcular el $\mathbb{C}ov(X,Y)$. Calcular el coeficiente de correlación$\phi_{X,Y}$.

$b)$ $X$ denota el menor número y $Y$ indica el número mayor. Calcular la covarianza y el corelation coeficiente.

Lo he intentado? Éxito con $a): U,W $~ Laplace({$1,...,6$}). Por lo $X = U$ y $ Y = U + W $. $ Cov(X,Y) = Cov(U,U+W) = Cov(U,U) + Cov(U,W) = Var(U) + 0 = Var(U) = \frac{35}{12} $. Para $\phi_{X,Y}$ I se utiliza la fórmula.

Pero tengo un problema con b) y esperamos a que alguien lo puede arreglar. Yo soy muy consciente de que esto es bastante similar a la de una). Así que vamos a decir: $U, W$~ Laplace({$1,...,6$}) ahora $X$ se $min(U,W)$$Y=max(U,W)$. Considere la posibilidad de $Cov(X,Y) = Cov(min(U,W),max(U,W))$. Pero, ¿qué hago ahora?

Answer 1

Yo no ver inmediatamente realmente una forma rápida de hacer esto así que proceder de la siguiente manera.

La definición de la covarianza (equivalente a) $$Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y].$$ Ahora calcular $E[XY]$, $E[X]$ y $E[Y]$ directamente por primera búsqueda de las distribuciones marginales de $X$$Y$. Usted debe obtener la $E[X]=\frac{91}{36}, \, \, E[Y]= \frac{161}{36}$$E[XY]=\frac{441}{36}$.

Tal vez la forma más fácil de encontrar $E[XY]$ es nota que es igual a $E[UV]$ al$X = min(U,V)$$Y = max(U,V)$.