La gente lo que sugiere que no se pueden hacer más grueso, todavía Hausdorff topología están equivocados. Sus pruebas no son válidas, y también lo es la conclusión. Puedo construir una topología más gruesa que todavía es Hausdorff. Usted puede pensar en este espacio como la adición de un punto en el $+\infty$ y pegar a 0.
Deje $\tau$ será el habitual de la topología de abrir se pone en $\mathbb{R}$. Definir $\tau' \subset \tau$ como la colección de conjuntos en $\tau$ que, si contienen 0, contienen algunos intervalo de $(\alpha,+\infty)$. Es decir, el abrir se pone en nuestra nueva topología son los viejos bloques abiertos, pero, si contienen el punto 0, también les obligan a ser un barrio de $+\infty$. Por definición, $\tau'$ es más gruesa de lo $\tau$, y es inmediato que es cerrado bajo intersección finita y arbitraria de la unión. Para mostrar que es Hausdorff, decir que estamos tratando de separar a dos puntos de $x$$y$. Si $x,y \neq 0$, sólo tienes que elegir algunos pequeños intervalos de alrededor de $x$$y$, asegurándose de que usted no incluyen el 0 en cualquiera de ellos. Si uno de ellos es cero, solo tienes que elegir los intervalos como de costumbre, y tirar en algún $(\alpha,+\infty)$ hasta el barrio de 0, con a $\alpha$ suficientemente grande como para no incluir el otro punto.
Alguien ya ha proporcionado un ejemplo de trabajo para una topología más fina que aún está conectado.
Edit: voy a proporcionar algunos informal justificación acerca de por qué la compacidad de intervalos cerrados es no suficiente para conseguir lo que parece que la gente quiere, y que no debería ser. Moralmente, usted puede pensar de Hausdorff con el significado de "secuencias no puede converger a más de un punto", y un grueso de la topología como uno en el que "más convergentes que sucede." La razón por la que no se puede hacer un grueso Hausdorff la topología en un espacio compacto es que hay ya un montón de convergencia pasando. Para obtener más convergentes, usted tendría que hacer una secuencia converge a algo nuevo, cuando ya se converge a algo más (rotura de Hausdorff). La clave de la forma en la que estamos utilizando compacidad aquí es que sabemos que "todo lo que puedan converger ya lo hace"; que es un mundial de la propiedad de compacidad, y eso no se puede recuperar a partir de compacidad local, o a sabiendas de que nuestro espacio es un contable de la unión de conjuntos compactos, ni nada de eso. En la construcción me dio, hemos añadido más "convergencia" diciendo que las secuencias que tienden a $+\infty$, que normalmente difieren, en su lugar, debe considerarse la convergencia a 0.
