Demostrar: la función de $g$ tiene un mínimo global en $\mathbb{R}$

Question

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ un polinomio de, incluso, $n$ grado, de tal manera que $0\leq f(x)$

deje $g=f+f'+f''+\cdots+f^{(k)}$, demuestran $g$ tiene un mínimo global en $\mathbb{R}$ al $k$ $k$- ésima derivada

¿Cómo debo acerca de esto?

Answer 1

al $f$ es polinomial, derivados de $f$ son polinomio así. Más $g$ es polinomial.

Debido a $f \gt 0$ $f$ es incluso, $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= + \infty$. Y debido a que $f$ es el más alto orden de polinomio entre $f', f^{(2)},f^{(3)}$ etc. podemos concluir $\lim_{x \to \pm \infty} g(x)= + \infty$. Por lo tanto, g es mínimo global.

Answer 2

Dado que el coeficiente de la más alta orden término es positivo y el grado de $g$ es incluso podemos optar $C$ lo suficientemente grande tal que $g(z)>f(0)$ todos los $|z| > C $ . Entonces a partir de la $g$ es continua y $[-C,C]$ es compacto, no es $ x\in [-C,C]$ tal que $f(x) \leq f(y)$ todos los $y\in [-C,C]$. A continuación, $f(x)$ es un mínimo global.