Evitando la norma de cálculo en cuadrática campo de número de

Question

Para mostrar que el anillo de $A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es principal, se demuestra que el ideal de $I=(1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5})A$ es no principal (sino $I^2= \langle 2 \rangle$ es). Esto equivale a no encontrar $\alpha=a+a'\sqrt{-5}$ $\beta=b+b'\sqrt{-5}$ tal que $\alpha\beta=2$.

Normalmente se utiliza la norma de la maquinaria, que aplicados a la ecuación de $\alpha\beta=2$ da la siguiente ecuación para ser discutido: $$(a^2+5a'^2)(b'^2 +5b'^2)=\alpha\alpha'\beta\beta'=N(\alpha)N(\beta)=N(2)=4$$ where $\alfa'=a-a'\sqrt{-5}$ and $\beta'=b-b'\sqrt{-5}$ son los conjugados.

Pregunta. Supongamos que no sé nada aún acerca de las normas o no quiere hacer uso de ellos, ¿cómo podemos obtener el resultado anterior, es decir, que $\alpha'\beta'=2$?

Editado: si $a+a'\sqrt{-5}$ divide algunos $n$, decir $\alpha\beta=(a+a'\sqrt{-5})(b+b'\sqrt{-5})=n$, esto significa que $a'b+ab'=0$$\alpha'\beta'=(a-a'\sqrt{-5})(b-b'\sqrt{-5})=n$.

A continuación, $\pm a\pm a'\sqrt{-5}$ divide $n$ en el mismo camino.

Answer 1

Que me parece excesivo para llamar a la norma de la función "maquinaria," pero sí nos permiten, con algunos ajustes, a hacer ciertas cosas que damos por sentado en la $\mathbb Z$ en cualquier anillo de enteros algebraicos, sea real o imaginario.

Al menos en un imaginario anillo como $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, hay una pequeña y agradable hecho de $\mathbb Z$ que nos puede llevar a más: si $n$ es un compuesto número distinto de cero, entonces su trivial divisores están más cerca de 0 que de $n$ sí. Por ejemplo, $-42$ es de 42 lejos de 0, mientras que sus divisores (como $-14$ y 21) están mucho más cerca de 0.

Y así, en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, vemos que 6 es 6 de distancia de 0, mientras que sus divisores como 2 y 3 son 2 y 3, respectivamente, del 0, y $1 + \sqrt{-5}$ es de aproximadamente 2.45 distancia de 0.

Por el camino, podemos restringir la búsqueda a la positiva-positiva cuadrante, porque si $a + b \sqrt{-5}$ es un divisor de a $n$, entonces también lo son $a - b \sqrt{-5}$, $-a + b \sqrt{-5}$ y $-a - b \sqrt{-5}$.

Por lo tanto, si $1 + \sqrt{-5}$ es divisor de 6, ¿cuáles son los divisores de $1 + \sqrt{-5}$? Los candidatos obvios son de 1 (un trivial divisor) y $\sqrt{-5}$, ya que son claramente más cerca de 0 que de $1 + \sqrt{-5}$ es. Y hay 2, que es sólo un poco más cerca de 0 que de $1 + \sqrt{-5}$.

Pero $(-\sqrt{-5})(\sqrt{-5}) = 5$, que está más lejos de 0 de $1 + \sqrt{-5}$, y el mismo también es cierto para la $2 \sqrt{-5}$. Si multiplicamos el resto de los pares de números que están más lejos de 0, los resultados serán más lejos de 0 todavía.

Esto significa que $1 + \sqrt{-5}$ es irreductible. Cálculos similares se demuestra que 2 y 3 son también irreductible. Desde $6 = 2 \times 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5})$, ni $\langle 2 \rangle$, $\langle 3 \rangle$, $\langle 1 - \sqrt{-5} \rangle$ ni $\langle 1 + \sqrt{-5} \rangle$ son los principales ideales.

A excepción de $\langle 3 \rangle$, cada uno de estos ideales es correctamente contenida en $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$, que definitivamente no es un director ideal. Y $\langle 3 \rangle$ está correctamente contenida en $\langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle$$\langle 3, 1 + \sqrt{-5} \rangle$.

Así, una manera de no utilizar las normas es visualizar el plano complejo. Pero este método no es bueno cuando los números de los anillos son todos sobre la recta numérica real, por ejemplo, $\mathbb Z[\sqrt{10}]$. En un anillo como ese, normas salvar el día.