¿La secuencia de $q(n)=3n+1+\frac{1-(-1)^n}{2}$ generar todos los números primos?

Question

Definir $$q(n)=3n+1+\frac{1-(-1)^n}{2} \quad, \quad n\in \mathbb N.$$

$$1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,\dots$$

Parece que esta fórmula da todos los números primos $>3$ (aunque no sólo de los números primos, por supuesto), que se verifica para todos los $n<1000$. Es comprobable o hay contador de ejemplos?

Answer 1

Ya que cada prime por encima de $3$ debe ser de la forma $6k \pm 1$ donde $k \in \mathbb{N}_{>0}$, es lógico pensar que esta expresión, que es esencialmente $6k \pm 1$ en diferentes tipos de ropa, producirá todos los números primos (además de la cada vez más frecuente de los composites).

Answer 2

Esto es cierto.

Deje $p>3$ ser un número primo. A través de la división con resto, podemos escribir $p=6q+r$ donde $0\le r<6$. Ahora:

• $r$ no puede ser $0$, debido a que, a continuación, $p$ sería un múltiplo de $6$.
• $r$ no puede ser $2$ o $4$, debido a que, a continuación, $p$ sería un múltiplo de $2$.
• $r$ no puede ser $3$, debido a que, a continuación, $p$ sería un múltiplo de $3$.

Por lo tanto, $r=1$ o $r=-1$. Ahora tenga en cuenta que la secuencia puede ser escrita como:

$$ 0\times 6+1, 1\times 6-1, 1\times 6+1, 2\times 6-1, 2\times 6+1,3\times 6-1,3\times6+1,\dots $$

de manera que incluya todos los números positivos de la forma $6n-1$ o $6n+1$. Por el argumento anterior, esto significa que contiene todos los números primos. Por supuesto, también contiene un montón de no-primos, tales como $1$$25$, y el más largo de la secuencia que usted consigue, el más raro de los números primos conseguir. Así que esto no es mucho más notable que la observación de que la secuencia de

$$ 1,2,3,4,5,6,\dots $$

contiene todos los números primos.

Answer 3

Nota: $\,q(2k) = 6k+1,\ q(2k+1) = 6k+5$ y cada una de las prime $\,p>3\,$ tiene una de esas formas, ya que por la división de $\, p = 6q+r,\ 0\le r\le 5\,$ $\,2\mid 6k,\,6k+2,6k+4\,$ $\, 3\mid 6k+3$