Una expresión general para la $n$th derivados

Question

Alguien me puede ayudar a probar el siguiente

$$f^{(n)}(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h^{n}}\sum\limits_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)(-1)^{n-k}f(x_0+kh) $$

Me las he arreglado para manipular la expresión anterior con la regla de l'Hôpital, pero fue en vano.

Gracias.

Answer 1

Aquí está una divertida prueba.

Para $k=0,\dots ,n$, considerar que la "expansión de Taylor de orden $n$"$f(x_0+kh)$ : $$f(x_0+kh)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}k^ih^i+o(h^n) $$ A continuación, escriba $\sum\limits_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)(-1)^{n-k} f(x_0+kh)$ y el intercambio de las sumatorias : esto le da \begin{equation}\sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{de la matriz}\right)(-1)^{n-k} f(x_0+kh)=\sum_{i=0}^n c_i f^{(i)}(x_0)h^i +o(h^n)\,, \etiqueta{$*$}\end{equation} donde los coeficientes $c_i$ $independent\;of\; f\;and\; h$ (este es el punto clave).

A continuación, considere la función $F(x)=e^x$. Por un cálculo directo (usando la fórmula binominal), llegamos a la \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{de la matriz}\right)(-1)^{n-k} F(x_0+kh)&=&e^{x_0}\sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{de la matriz}\right)(-1)^{n-k}e^{j}\\ &=&e^{x_0}\left(e^{h}-1\right)^n\\ &=&e^{x_0}h^n+o(h^n)\, . \end{eqnarray*} Pero, por la fórmula ($*$) anterior, también debemos tener \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{de la matriz}\right)(-1)^{n-k} F(x_0+kh)&=& \sum_{i=0}^n c_iF^{(i)}(x_0)h^i+o(h^n)\\ &=&\sum_{i=0}^n c_ie^{x_0} h^i +o(h^n) \end{eqnarray*} La identificación de los coeficientes, se deduce que el $c_i=0$$i=0,\dots ,n-1$$c_n=1$. Volviendo a la fórmula ($*$), llegamos a la conclusión de que $$\sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)(-1)^{n-k} f(x_0+kh)=f^{(n)}(x_0) h^n +o(h^n) $$ para $any$ (liso) la función $f$. Dividiendo por $h$, esto le da al límite requerido.