Actualmente estoy trabajando en una casa de examen para la licenciatura de teoría de números, así que sólo puedo aceptar sugerencias. El problema en el que estoy trabajando es: Vamos a $p$ ser impar el primer tales que $p \equiv 3,5$ mod $8$. Demostrar que $(p-3)! + 1$ no es un cuadrado perfecto. Mi enfoque hasta ahora es:
Si $(p-3)! + 1$ es un cuadrado perfecto, es un cuadrado perfecto mod $p$. Por Wilson del teorema, $(p-3)! + 1 \equiv (-1)(p-1)^{-1}(p-2)^{-1} + 1 \text{ mod } p$. Desde $(p-1)^{-1} \equiv_{p} (p-1)$$(-1) \equiv_{p} (p-1)$,$(-1)(p-1)^{-1}(p-2)^{-1} + 1 \equiv ((p-2)^{-1} + 1) \text{ mod } p$. Sabemos $(p-2)^{-1} \equiv_{p} (-2)^{-1} = \frac{p-1}{2}$, $((p-2)^{-1} + 1) \equiv_{p} \frac{p-1}{2} + 1 = \frac{p+1}{2}.$
En este punto, estoy completamente atascado y agradecería cualquier feed back o sugerencias de como a otro enfoque que puede utilizar.
