Dos formas de ver la derivada en $x=0$ $f (x)= x^{2} \sin1/x$

Question

Para mostrar que derivado de la $f$ $x= 0$ existe, donde $f(x)= x^{2} \sin1/x$, para $x\ne0$, e $f(0)=0$.

Hice esto por el uso de la definición de la diferenciabilidad, entonces me pareció que para ser$0$, por lo que existe, pero cuando yo simplemente tomar la derivada de esta función llego $-\cos1/x + 2x\sin1/x$, lo que no parece existir en $x=0$. ¿Por qué esta contradicción?

Answer 1

La expresión $\sin (1/x)$ no está definido en $0$, así que, de hecho, tiene que tratar con la función $$F(x):= \begin{cases} x^2\,\sin(1/x)\quad\text{for}\quad x\neq 0 \\ 0\quad\text{for}\quad x=0 \end{casos}$$ Por lo tanto, usted no puede utilizar las fórmulas para la multiplicación y la composición de funciones, porque no la función "$x^2\,\sin(1/x)$" a $0$. Usted necesita se calcula a partir de la definición como lo hizo, y $F'(0)=0$.

Tenga en cuenta que $\lim_{x\to 0} F'(x)$ no existe, pero que no contradice nada; la derivada es simplemente no es continua en a $0$, aunque es definido en todas partes.