Probabilidad de que después de n ensayos de la suma de los valores sería de más de x.

Question

Supongamos que tenemos una bolsa con tarjetas, cada tarjeta tiene un número de $2$,$3$ o $4$, así que espacio muestral es $\{2, 3, 4\}$. Cada punto de la muestra tiene la misma probabilidad (por lo $1/3$).
Tenemos que recoger $n$ tarjetas de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en las tarjetas será de más de $x$?

También el número total de tarjetas en la bolsa es infinita o tan alto es insignificante (supongo que no importa en absoluto en esta pregunta). Quiero encontrar una fórmula general, pero al menos resolver algunos ejemplo sería bueno también, que estoy un poco atascado.

Así que supongamos que elegimos $12$ tarjetas y la necesidad de encontrar cuál es la probabilidad de que vamos a obtener más de $40$ si sumamos todos los números en ellos.

$$n=12, p=1/3, P[X\geq40]=?$$
Se ve un poco como la distribución Binomial, pero aquí $X$ no significa "número de éxitos obtenidos en $n$ ensayos". De hecho, creo que no tenemos ningún tipo de "éxito" aquí. ¿Qué debo usar en este caso?

Answer 1

$$\frac{N(2x_1+3x_2+4x_3\geq 40,x_1+x_2+x_3=n)}{N(x_1+x_2+x_3=n)}=\frac{N(2x_1+3x_2+4n-4x_1-4x_2\geq 40, x_1+x_2\leq n)}{N(x_1+x_2+x_3=n)}$$ $$=\frac{N(2x_1+x_2\leq 4n-40, x_1+x_2\leq n)}{N(x_1+x_2+x_3=n)}=\frac{\sum_{i=0}^{4n-40}N(2x_1+x_2=i, x_1+x_2\leq n)}{\binom{n+3-1}{3-1}}$$ $$=\frac{\sum_{i=0}^{4n-40}\sum_{x_1=0}^{[\frac{i}{2}]}N(x_2=i-2x_1\leq n-x_1)}{\binom{n+2}{2}}=\frac{\sum_{i=0}^{4n-40}\sum_{x_1=0}^{[\frac{i}{2}]}f(i,x_1)}{\binom{n+2}{2}}$$ Donde $N()$ significa que el número de posibles entero no negativo respuestas. $x_i$, $i=1,2,3$ muestran, respectivamente, el número de tarjetas con 2, 3 y 4 de ellos en la opción de n cartas. $[z]$ significa mayor entero antes de $z$. Y, finalmente, $f(i,x_1)$ $0$ si $i-2x_1>n-x_1$ $1$ si $i-2x_1\leq n-x_1$.

Para $n\geq 20$ esta fracción es$1$$n< 10$$0$, que es compatible con la observación ya que; $$n\geq 20\Longrightarrow 2x_1+3x_2+4x_3\geq 2(x_1+x_2+x_3)=2\times n\geq 40$$ $$n< 10\Longrightarrow 2x_1+3x_2+4x_3\leq 4(x_1+x_2+x_3)=4\times n< 40$$

Here I wrote a Maple code to compute it. I chose it return us for values $n$ from $1$ to $20$, you can run it for different values. As you can see for $n=20$ it is $1$ and for $n$ strictly less than $10$, it is $0$.

f := proc (n, x, y) 
     if x-n <= y then 1 else 0 end if; 
     end proc;
for n from 1 by 1 to 20 do
    add(add(f(n, i, j), j = 0 .. floor((1/2)*i)), i = 0 .. 4*n-40))/binomial(n+2, 2);
    end do;