Aclaración básica: Resolver la ecuación elevando al cuadrado, pero acabar obteniendo respuestas inexistentes

Question

Esto va a ser extremadamente elemental dado el calibre de las preguntas que se están publicando. Estaba repasando algo básico y creo que estoy pasando por alto una regla extremadamente fundamental.

$$2x-1 = \sqrt{6x+1}$$

Por inspección, la solución es x=5/2. Sin embargo, para resolver algebraicamente, digamos que elevo al cuadrado ambos lados.

Eso me deja con.

$$4x^2 - 4x + 1 = 6x + 1$$ $$\implies 4x^2 - 10x = 0 \implies x(2x-5)=0$$

Parece que $x=0$ está ahora presente junto con la respuesta correcta.

Si alguien pudiera aclararme por qué elevar al cuadrado el signo de la raíz cuadrada añade una nueva respuesta (no deseada) se lo agradecería mucho. Sobre todo porque $x=0$ no está fuera del dominio de la ecuación original $x> -\frac 16$ que definitivamente incluye $x=0$ .

¿Es porque mi ecuación original tiene una potencia de $1$ lo que significa que tengo una solución, sin embargo, cuando la elevo al cuadrado, esencialmente estoy añadiendo una nueva "x" y subiendo la potencia a $2$ , dándome $2$ soluciones. Así, si siguiera subiendo la potencia, habría más soluciones repetidas en $x=0$ ? Lo que significaría, en algunos sentidos resolver esas ecuaciones para $x$ dividiendo ambos lados por $x$ para reducirlo a la potencia original de $1$ significaría $x$ no puede ser $0$ como solución.

Saludos.

Answer 1

Dado que el cuadrado de $2x-1$ es el mismo que el cuadrado de $1-2x$ Al elevar al cuadrado tu ecuación inicial introduces también la solución de la ecuación $$ 1-2x=\sqrt{6x+1} $$

De otra manera: La ecuación $$ 2x-1=\sqrt{6x+1} $$ requieren que $2x-1\ge 0$ porque la raíz cuadrada es siempre un número positivo, por lo que la solución debe ser tal que $x \ge \frac{1}{2}$ y esta desigualdad selecciona la solución correcta de la ecuación al cuadrado.

Answer 2

Supongamos que $x = 1$ .

Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos ahora $x^2 = 1$ Lo cual es innegablemente cierto.

De esto podemos concluir que $x = 1$ o $x = -1$ . Esto también es cierto, ya que una disyunción de un enunciado verdadero y otro falso es verdadera. Pero la disyunción ha perdido información que estaba presente en el enunciado original: ya no se sabe que de las dos afirmaciones es verdadera.

La cuestión es que una ecuación polinómica es como una disyunción exclusiva: te dice que $x$ asume exactamente una de $n$ (el grado del polinomio) posibles valores, pero no te dice cuáles.

Answer 3

La raíz cuadrada es un ejemplo de operador que devuelve dos resultados. Puede tener la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa. Al elevar al cuadrado ambos lados se añade la raíz cuadrada negativa al conjunto de soluciones. Por lo tanto, debe limitar su dominio a la raíz cuadrada positiva y rechazar el 0 como respuesta.