Quiero encontrar alguna forma cerrada para $\gcd(x^3+1,3x^2 + 3x + 1)$ pero consigue $7$ lo cual no es siempre cierto.
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Primero $$ 3(x^3+1)-(3x^2+3x+1)(x-1)=2x+4 $$ y $$ 2(3x^2+3x+1)-3(2x+4)(x-1)=14 $$ Por lo tanto, hemos $$ (3x^2-6x+5)(3x^2+3x+1)-9(x-1)(x^3+1)=14 $$ y así, $(x^3+1,3x^2+3x+1)\mid14$. Desde $3x^2+3x+1=6\binom{x+1}{2}+1$, es siempre impar. Por lo tanto, podemos mejorar la instrucción $$ (x^3+1,3 x^2+3x+1)\mid7 $$ Si nos fijamos mod $7$, vemos que el mcd es $7$ al $x\equiv5\pmod7$ $1$ lo contrario.
s7orm
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Con el procedimiento se encontró que el MCD entre los dos polinomios $x^3+1$$3x^2+3x+1$$\mathbb{Q}[x]$$7$, o, equivalentemente,$1$, debido a que el MCD de polinomios se define a constantes (cada valor escalar $c$ divide cualquier polinomio $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$).
Por lo tanto no hay contradicción en su declaración.
David HAust
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Puedo demostrar que el mcd $\,d =7\,$ si $\, x = 5\!+\!7n,\,$ else $\,d=1.\,$ $\,x^3\!+\!1 = (x\!+\!1)h(x),\ h(x) = x^2\!-\!x\!+\!1.\,$ Deje $\,g(x) = 3x^2\!+3x+1.\,$ $\,\color{#c00}{(x\!+\!1,g(x))} = (x\!+\!1,g(-1)) = (x+1,1)= \color{#c00}1.\,$ por lo Tanto $\,d = ((\color{#c00}{x\!+\!1})h ,\color{#c00}g) = (h,g) = (h,\, g\ {\rm mod}\ h) = (\color{#0a0}{h,2}(3x\!-\!1))\,$ $\,x^2\equiv x\!-\!1\,$ mod $\,h.\>$ Sino $\,2\mediados de los h\!-\!1=x(x-1) ,\, $ so $\ \color{#0a0}{(h,2) = 1},\,$ so $\ d = (h,\ 3x\!-\!1).\,$ Reducing $\,h\,$ mod $\,3x\!-\!1$ we obtain $\,{\rm mod}\ d\!:\ 0\equiv 9h(x)\equiv 9h(1/3)\equiv 7,\, $ so $\,d\mid 7.\,$ So $\,d\ne 1\iff (h,3x\!-\!1)=7\,$ which is true iff $\,x\equiv -2\equiv 5\pmod 7,\,$ i.e. the common root of $\,3(x\!+\!2)\,$ and $\,h \equiv (x\!+\!2)(x\!-\!3)\,\pmod 7.$
