Para dos distintos subconjuntos compactos $A$ $B$ a de un espacio métrico $(X,d)$ muestran que $d(A,B)>0.$

Question

Yo estaba pensando en el siguiente problema: Para dos distintos subconjuntos compactos $A$ $B$ a de un espacio métrico $(X,d)$ muestran que $d(A,B)>0.$ estoy teniendo una duda con mi prestar atención. Por favor, eche un vistazo y hacer comentarios:

Deje $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,b\in B\}=0.$ $\exists$ secuencias de $\{a_n\}\subset A,\{b_n\}\subset B$ tal que $0\le d(a_n,b_n)<\dfrac{1}{n}~\forall~n.$ Desde $A$ es compacto, $\exists$ convergente subsequene $\{a_{r_n}\}$ $\{a_n\}$ convergentes para algunos $a\in A.$ $0\le d(a_{r_n},b_{r_n})<\dfrac{1}{r_n}~\forall~n.$ Asimismo, desde $B$ es compacto, $\exists$ convergente subsequene $\{b_{r_{n_m}}\}$ $\{b_{r_n}\}$ convergentes para algunos $b\in B.$ $0\le d(a_{r_{n_m}},b_{r_{n_m}})$$<\dfrac{1}{r_{n_m}}~\forall~m.$ Tomamos nota de que $r_{n_m}\ge n_m\ge m>0$$\implies0<\dfrac{1}{r_{n_m}}<\dfrac{1}{m}\to0$$\implies\dfrac{1}{r_{n_m}}\to0.$ el Uso de la sqeezing lema una vez más podemos ver que $\exists$ secuencias convergentes $\{a_n\}\subset A$ $\{b_n\}\subset B$ tal que $a_n\to a\in A,b_n\to b\in B.$ $\exists$ secuencias convergentes $\{a_n\}\subset A$ $\{b_n\}\subset B$ tal que $a_n\to a\in A,b_n\to b\in B.$ $d(a_n,b_n)\to d(a,b)$ En consecuencia, $d(a,b)=0\implies a=b,$ una contradicción a $A\cap B=\emptyset.$

Answer 1

Su solución es correcta. Aquí es otro.

Suponga $d(A,B)=0$. Considere la función $d(x, B)=\inf\{d(x,y):y\in B\}$ Que es continua, y se definen en espacio métrico compacto $A$. Por lo que alcanza su mínimo, es decir no existe $a\in A$ tal que $d(a,B)=\inf\{d(x,B):x\in A\}=d(A,B)=0$. Desde $d(a,B)=0$,$a\in \operatorname{cl}_X(B)$. Desde $B$ es compacto es cerrado, por lo $a\in \operatorname{cl}_X(B)=B$. Contradicción, ya que $A\cap B=\varnothing$.