Para todas las matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño, ¿es cierto que $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$?

Question

La declaración a continuación es un ejercicio verdadero/falso.

Declaración: Para todas las matrices cuadradas A y B del mismo tamaño, es verdad que $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Mi proceso de pensamiento: Dado que no es una prueba, supongo que puedo demostrarlo con un ejemplo y llegar a una conclusión válida basada en dicho ejemplo.

Mi trabajo:

Crear una matriz cuadrada A y B, ambas siendo una matriz 2 por 2(filas y columnas deben ser iguales).

Matriz $A$:

$A = \begin{array}{ccc} 3 & 5 \\ 4 & 6 \\ \end{array} $

Matriz $B$:

$B = \begin{array}{ccc} 5 & 8 \\ 9 & 4 \\ \end{array} $

$A + B = \begin{array}{ccc} 8 & 13 \\ 13 & 10 \\ \end{array}$

$(A + B)^2 = \begin{array}{ccc} 233 & 234 \\ 234 & 264 \\ \end{array}$

$A^2 = \begin{array}{ccc} 29 & 45 \\ 36 & 56 \\ \end{array}$

$(AB) = \begin{array}{ccc} 60 & 44 \\ 74 & 56 \\ \end{array}$

$2(AB) = \begin{array}{ccc} 120 & 88 \\ 234 & 112 \\ \end{array}$

$B^2 = \begin{array}{ccc} 97 & 72 \\ 81 & 88 \\ \end{array}$

$A^2 + 2AB + B^2 = \begin{array}{ccc} 246 & 205 \\ 265 & 256 \\ \end{array}$

Basado en mi trabajo anterior, la respuesta es falsa.

¿Hay otra forma de abordar el problema? Parece que se necesita mucho trabajo para una pregunta verdadera/falsa, lo que hizo que sospechara si hay una mejor manera de ver el problema.

Answer 1

Un contraejemplo es todo lo que necesitas, así que estás listo. Probablemente podrías haber elegido un contraejemplo más simple, por ejemplo con la mayoría de las entradas de $A$ y $B$ siendo $0,$ pero el tuyo funciona perfectamente.

Como alternativa, nota que si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces $$(A+B)^2=A(A+B)+B(A+B)=A^2+AB+BA+B^2.$$ De esto se sigue que $$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$$ si y solo si $AB=BA.$ Entonces, cualquier par de matrices cuadradas $A,B$ del mismo tamaño tal que $AB\neq BA$ darán lugar a un contraejemplo.

Answer 2

$$\begin{align*} (A+B)^2 &= (A+B)(A+B) \\ &= AA+AB+BA+BB \\ &= A^2 + AB+BA+B^2.\end{align*}$$

¿Siempre es cierto que $AB+BA = 2AB$?