Conjetura con respecto a la interceptación de los números racionales en algunos intervalos especial

Question

Conjetura:

Deje $b\in\mathbb{N}_{\geq3}$ $\{x_i\}$ ser una colección de $b−2$ números racionales mayores que $1$. No siempre existe un número natural $a$ tal que para todos los $i$ existe algún número natural $1\leq c\leq a$ tal forma que:

$$\displaystyle \frac{ab-1}{(c-1)b+1}\geq x_i \geq \frac{ab-1}{cb-1}\tag{1}$$

Uno puede pensar en esto como tener una UNIÓN de $a$ intervalos de $\left[\frac{ab-1}{cb-1},\frac{ab-1}{(c-1)b+1}\right]$ sobre la recta real y demostrando que, para algunos,$a$, estos pueden atrapar cualquier finito conjunto discreto de números racionales tener cardinalidad $b-2$.

Por ejemplo, supongamos que $b=10$, $x=\{\frac{12}{5},\frac{17}{5},\frac{59}{10},\frac{187}{20},15,21,\frac{67}{2},39 \}$, a continuación, $(1)$ es cierto para $a=4$ $a=5$ y por lo tanto los intervalos de $a=4,5$ contienen o "trampa" a todos los miembros de $x$. En el diagrama, el rojo/verde regiones son los intervalos de $\left[\frac{ab-1}{cb-1},\frac{ab-1}{(c-1)b+1}\right]$ todos los $c<a$.

¿Qué herramientas matemáticas se puede emplear para hacer frente a este?

LO QUE YO HICE:

He resuelto la desigualdad $(1)$ $a$ y consiguió

$$\large x_i\left(1-\frac{2}{b}\right)+\frac{x_i+1}{b}+cx_i\geq a\geq \frac{x_i+1}{b}+cx_i\tag{2}$$

Tenga en cuenta que $\frac{x_i+1}{b}+cx_i$ es común en ambos lados de la desigualdad.

Ahora sólo voy a tener que enchufar en los valores de $x_i$ conseguir $b-2$ desigualdades y comprobar un valor común de $a$ cualquier $c$.

Por ejemplo, supongamos $x_i \in \{ \frac{101}{4},\frac{3001}{7} \}$ $b=4$

luego tenemos las desigualdades

$\frac{307}{16}+\left(\frac{101}{4}\right)c_1\geq a\geq \frac{105}{16}+\left(\frac{101}{4}\right)c_1$

$\frac{911}{32}+\left(\frac{301}{8}\right)c_2\geq a\geq \frac{309}{32}+\left(\frac{301}{8}\right)c_2$

Poner $c=2$ en la primera desigualdad y $c=1$ en la segunda desigualdad para obtener un común $a=58$.

Pero, ¿cómo debe uno ir a demostrar que siempre habrá un cierto valor de $a$ que satisface el anterior conjunto de desigualdades? He calculado numéricamente para algunos random $b$ $x_i$ y siempre se las arregló para obtener algunos de los $a$, es decir, existía cierta $a$ que atrapó al azar $x_i$ dado algunos random $b$. Un contraejemplo puede ser el negativo, pero no pude encontrar ninguna.

Answer 1

Esto es lo que hice. Yo no llegue muy lejos, pero tal vez esto sea de ayuda.

En primer lugar, ya que todas las cantidades no son cero, vamos a definir $y_i\triangleq 1/x_i$ e invertir la desigualdad: $$\frac{(c_i-1)b+1}{ab-1} \leq y_i \leq \frac{c_ib-1}{ab-1}$$ Tenga en cuenta que cada una de las $y_i$ es un número racional entre el$0$$1$, exclusivo. Así definen $y_i=p_i/q$ donde $q$ es un común denominador en todos los $i=1,2,\dots,b-2$, y cada una de las $p_i\in\mathbb{N}$ entre $1$$q-1$, inclusive. Así tenemos $$\frac{(c_i-1)b+1}{ab-1} \leq \frac{p_i}{q} \leq \frac{c_ib-1}{ab-1}$$ $$q((c_i-1)b+1) \leq p_i(ab-1) \leq q(c_ib-1)$$ $$q(1-b) \leq p_i(ab-1) - qc_ib \leq -q$$ $$q(1-b/2) \leq p_i(ab-1) - qc_ib + qb/2 \leq q(b/2-1)$$ $$\left| 2(ab-1)p_i - 2qb(c_i-1/2) \right| \leq q(b-2)$$ He aquí la interpretación geométrica de esta expresión. La cantidad de $2qb(c_i-1/2)$ representa un número finito de cuadrícula $$\{qb,3qb,5qb,..,2qba-qb\}.$$ The quantity $2(ab-1)p_i$, on the other hand, represents the $b-2$ puntos escogidos, que debe estar en otro finito de cuadrícula $$\{2(ab-1),4(ab-1),\dots,2(q-1)(ab-1)\}.$$ Así que el reto es encontrar una manera de asegurarse de que $b-2$ puntos seleccionados a partir de esta segunda cuadrícula se encuentran dentro de $q(b-2)$ de los puntos de la primera cuadrícula. Tenga en cuenta que esto no es trivial satisfecho porque esta distancia $q(b-2)$ es estrictamente menor que la mitad de la distancia entre las $c_i$ puntos de cuadrícula. Así que de hecho hay espacios que deben ser evitados cuando la elección de $a$.