Prueba de que un bloque de dígitos no se repite dos veces seguidas en un número irracional en binario

Question

Así que he estado tratando de entender este problema durante 3 horas, ahora y realmente no sé cómo empezar.

Lo que estoy tratando de hacer es averiguar si no se garantiza que sea, en un número irracional escrito en binario, un bloque de dígitos binarios de longitud mayor que una vez que se repite dos veces en una fila así, por ejemplo: $0.\underline{110}-\underline{110}$ tiene el bloque 110 dos veces. Sé que es más probable que sea cierto, ya he comprobado que el uso de la programación, a menos que algo está mal con mi código, pero quiero probarlo sin usar el ordenador, para obtener más información acerca de ella.

Lo que he intentado hacer es escribir todas las combinaciones posibles de 4 dígitos y probar diferentes combinaciones, etc, he pensado que me gustaría tener alguna idea bien antes de que yo estoy trimestre camino a través de combinaciones de un par de 4 dígitos bloque, pero que resultó no ser el caso y había un montón de tiempo perdido en un sólo ensayo y error.

Sólo que no sé cómo empezar en esto, todas las sugerencias/ pruebas sería muy apreciada.

Si es necesario yo he estudiado un primer curso de teoría de números, así que puedo entender eso.

Answer 1

En el papel "En secuencias no repetitivas" por Entringer y Jackson, en J. Combinat. La Teoría De La Ser. Un 11 (1974), 159-164. El enlace es http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316574900417, los autores muestran que cualquier secuencia binaria de longitud de más de 18 años deben tener idénticos dos bloques consecutivos, cuya longitud es de al menos 2.

La prueba es mediante el análisis de caso, se muestra en la Figura 1 en el papel.

Answer 2

Usted puede deliberadamente definir un número irracional tener presente que no se repiten de la calidad, si es necesario. Por ejemplo, para un número irracional que evita de 3 bloques de repetición de dígitos, tomar el binario definición de $\pi$ y generar un nuevo número tal que cada dígito $x$ $\pi$ es reemplazado por $11x00$. (Esto también evita 4-bloques).

Para evitar repeticiones de cualquier longitud, que probablemente tendría que ser más extravagante, la codificación más dígitos en cada vez más grandes cadenas (posiblemente mediante transformaciones de los anteriores dígitos). Mi expectativa es que es posible, aunque.