Grassmann números como valores propios de nilpotent operadores?

Question

La siguiente pregunta está motivada por la construcción de la fermionic ruta/campo integral, como hace, por ejemplo, en Altland & Simons "de la Materia Condensada, la Teoría de Campo".

Considere el espacio vectorial $\mathbb C^2$ con dos vectores de la base nombrado $|0\rangle$$|1\rangle$. Además, considere el operador lineal $a$ definido por

$$ a |0\rangle = 0 \text{ and } a |1\rangle = |0\rangle .$$

(Esta es la "aniquilación" del operador para una sola fermión). Su hermitian conjugado $a^\dagger$ ("la creación" operador) está dada por

$$ a^\dagger |0\rangle = |1\rangle \text{ and } a^\dagger |1\rangle = 0 .$$

Claramente, tanto los operadores de $a$ $a^\dagger$ son nilpotent y tiene la siguiente forma normal de Jordan

$$ a, a^\dagger \simeq \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

En particular, estos operadores no están completamente determinados por sus valores propios. (No conmuta o anticommute, sin embargo, tenemos $aa^\dagger + a^\dagger a = 1$.)

Sin embargo, cuando la construcción de la fermionic de campo integral, físicos tratar estos operadores, como si hubieran útil autovalores! Es decir, los valores propios son la Grassmann-los números, es decir, dos "números" $\eta$ $\bar\eta$ que anticommute el uno con el otro, $\eta \bar\eta = - \bar\eta \eta$, y que también anticommute con los operadores de $a$$a^\dagger$. Entonces, los físicos construir el llamado "estado coherente"

$$ |\eta\rangle := e^{-\eta a^\dagger} |0\rangle = (1 -\eta a^\dagger) |0\rangle $$

que se comporta como un vector propio para la aniquilación del operador

$$ a |\eta\rangle = \eta |\eta\rangle .$$

Junto con el vector dual,

$$ \langle\eta| = \langle 0| e^{-a\bar\eta} $$

podemos escribir la proyección sobre el correspondiente "espacio propio" como $|\eta\rangle \langle\eta|$. Estas proyecciones forman un "juego completo", como puede verse por la suma o integración sobre las variables de Grassmann

$$ \int d\bar\eta d\eta\ e^{-\bar\eta \eta} |\eta\rangle \langle\eta| = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ahora mi pregunta: ¿cómo en la tierra, ¿tienen sentido? La idea básica es la de ampliar la oferta disponible de "números" para obtener los autovalores. Esta es una idea común y puede ser utilizado para la construcción de muchos familiares campo de extensiones como $\mathbb R \subseteq \mathbb C$. Después de todo, la unidad imaginaria $i$ es el autovalor de una rotación de 90° en dos dimensiones. El problema aquí es Grassmann álgebras no pueden ser campos y que ya no estamos tratando con espacios vectoriales.

¿Cómo pueden los elementos de un álgebra de Grassmann ser interpretados como valores propios de nilpotent operadores?

Supongo que estoy buscando representaciones de la matriz álgebra $\mathbb C^{n\times n}$ en Grassmann módulos o algo por el estilo. Probablemente el "natural" de la representación en el producto tensor $\mathbb C^n \otimes \Lambda \mathbb C^n$.

Answer 1

Permítanme contarles una parte de la historia en un lenguaje ligeramente diferente - tal vez va a ser menos misterioso, a continuación,.

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La historia comienza con un módulo de $M=\mathbb C[\xi]$ (libre de supercommutative álgebra con una extraña generador - aka exterior de álgebra en un generador) a través de un álgebra de Clifford $A=\mathbb C[\xi,\frac\partial{\partial\xi}]$ ("impar operadores diferenciales" - es decir, la única relación es $[\frac\partial{\partial\xi},\xi]_+=1$). "Física de la notación": $|0\rangle=1\in M$, $|1\rangle=\xi\in M$, $a=\frac\partial{\partial\xi}\in A$, $a^\dagger=\xi\in A$.

Uno puede extender escalares: en lugar de un álgebra $A$ más (el campo) de los números complejos se obtiene una álgebra $\tilde A=A[\eta,\bar\eta]=R[\xi,\frac\partial{\partial\xi}]$ más (el anillo) $R=\mathbb C[\eta,\bar\eta]$; y el módulo de $M$ se extiende a $A[\eta,\bar\eta]$-módulo de $\tilde M=M[\eta,\bar\eta]=R[\xi]$ (cf. Koszul resolución). Sobre la base de nuestra anillo, $R$, es un módulo de la dimensión 2.

Ahora $\frac{\partial}{\partial\xi}$ tiene un autovector, $\left| \eta\rangle \right.=exp(-\xi\eta)=1-\xi\eta$ con eigienvalue $\eta$.

(Nada demasiado sorprendente aquí: todo el mundo sabe que $\exp(\lambda x)$ es un autovector de a $\frac\partial{\partial x}$. Uno podría preguntarse, ¿por qué no usar simplemente $\exp(\xi)$, - pero un fácil cálculo de mostrar que ya no es un autovector de a$\frac\partial{\partial\xi}$ -, porque, de hecho, tenemos el argumento de exponente tiene que ser, incluso, no extraña. Es por eso que necesitamos ampliar escalares, creo - $\xi\eta$ es incluso un elemento, y exponenciación funciona bien.)

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Pero aún no hay una manera de extender a un eigenbasis. El problema es que no podemos dividir por $\eta$ (o dos exponentes - decir, $\left|\eta\rangle \right.$ $\left|\bar\eta\rangle \right.$ - generaría todo). Así que para cualquier libre $\mathbb C[\eta,\bar\eta]$ vamos a definir (Berezin) integral por $\int d\eta d\bar\eta\,(e+f\eta+g\bar\eta+h\eta\bar\eta)=h$. Ahora $\left|\eta\rangle \right.$ genera nuestra $\tilde M$ si nos permiten no sólo de totalización, sino que también esta "integración": $$ \begin{align} 1 &=\pm\int d\eta d\bar\eta\,\eta\bar\eta|\eta\rangle;\\ \xi&=\pm\int d\eta d\bar\eta\, \bar\eta|\eta\rangle. \end{align} $$ En otras palabras, $$ \begin{align} \left|0\rangle\langle0\right|&=\pm\int d\eta d\bar\eta\,\bar\eta\eta|\eta\rangle;\\ \left|1\rangle\langle1\right|&=\pm\int d\eta d\bar\eta\,|\eta\rangle\bar\eta\frac{\partial}{\partial\xi}. \end{align} $$ Por lo tanto $$ \operatorname{Id}= \left|0\rangle\right. \a la izquierda. \langle0\right|+\left|1\rangle\langle1\right|= \int d\eta d\bar\eta(1\pm\eta\bar\eta)|\eta\rangle\langle\eta|. $$

// Tenga en cuenta, en particular, que (a diferencia de $|0\rangle\langle0|$ o $|1\rangle\langle1|$), $|\eta\rangle\langle\eta|$ es que no es realmente un proyector en nada - (es unipotentes, por lo que) es un automorphism, en realidad!

(Oh, me appologize para la mezcla de "matemáticas" y "física" de la notación libremente.)

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(Así que, en cuanto a la pregunta en gris de la OP, no es realmente un problema: gran parte de álgebra lineal se puede hacer no sólo en espacios vectoriales sobre los campos, pero también en el módulo (super)conmutativa anillos - y es útil para considerar no sólo el campo de las extensiones pero también anillo extensiones a veces.)

Answer 2

Consideremos exterior (Grassmann) álgebra $\Lambda\mathbb R^{2n}$ $2n$ generadores $v_k$, $ k=1, \ldots, 2n$. Es $2^{2n}$-dimensiones reales de álgebra. Es posible introducir los operadores (1, pág.15) $M_k$ y $\delta_k$, $ k=1, \ldots, 2n$, donde $M_k(1) = v_k$, $M_k(\omega) = v_k \wedge \omega$ y $\delta_k$ es medico adjunto de $M_k$ (ver 1, pág.15 para más, salvo, estoy usando la notación $M_k$ $\delta_k$ en lugar de $\delta_v$ $M_v$ básica vectorial $v=v_k$ y norma Euclídea en lugar de arbitrario $B$).

Ahora tenemos la representación de un álgebra de Clifford con $2n$ generadores $e_k = M_k - \delta_k$. En el (1) $M_k$ $\delta_k$ fueron llamados los operadores de creación y aniquilación, pero es mejor utilizar aquí una complejización con los operadores: $a_k = (e_{2k-1}+i e_{2k})/2$ $a_k^\dagger = (e_{2k-1}-i e_{2k})/2$ e introducir las variables de $\eta_k = v_{2k-1}+i v_{2k}$ y $\bar{\eta}_k = v_{2k-1}-i v_{2k}$, $ k=1, \ldots, n$. Así podemos hablar de la $\Lambda\mathbb C^n$ ahora.

Un exterior que el álgebra es un espacio lineal. Un elemento del espacio se denota como $| \eta \rangle$. Un elemento de doble espacio es $\langle \eta |$. Ambos espacios lineales tienen dimensiones reales $2^{2n}$.

Ecuaciones como $a_k | \eta \rangle = \eta_k | \eta \rangle$, $ k=1, \ldots, n$ simplemente significa que $| \eta \rangle$ no puede contener
$\eta_k$, es decir, no es elemento de a $2^n$-dimensiones exteriores álgebra $\bar\Lambda\mathbb C^n$ con generadores $\bar{\eta}_k$. La comparación con la ecuación de autovalores puede ser engañoso. Creo que es mejor usar presentación más formal, como (2).

1) J. E. Gilbert y M. A. M. Murray, álgebras de Clifford y Dirac operadores en el análisis armónico, (TAZA, 1991).

2) L. D. Faddeev y A. A. Slavnov, Medidor de campos: Introducción a la teoría cuántica, (Benjamin, 1980, 1982).