Resolver de verdad $x$ si $(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)$

Question

Pregunta:

Resolver de verdad $x$ si $(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)$

Mis intentos:

1. Aquí está el formulario ampliado: $$x^4-6x^3+12x^2-12x+4=0$$
2. He introducido esto en varios sitios web de "resolución de problemas matemáticos", todos afirman que "la solución no pudo determinarse algebraicamente, por lo que se utilizaron métodos numéricos (¿supongo que la fórmula cuádrica?)"
3. He sustituido $y=x^2+2$ pero luego el $6x$ sigue impidiéndome resolver.
4. He tratado de factorizar de otras maneras, he tratado de encontrar las primeras soluciones simples pero en realidad no son simples así que no pude encontrarlas.
5. Factorización en círculos e hipérbola para llegar a una solución geométrica, estimando las raíces a partir de la gráfica

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Como referencia, las raíces son: (créditos a wolframalpha)

$$2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2},1+i, 1-i$$

Answer 1

Configurar $y=x^2+2$ da $$y^2+8x^2=6xy,$$ es decir $$y^2-6xy+8x^2=0$$ a partir de la cual tenemos $$(y-2x)(y-4x)=0$$ Creo que puedes seguir desde aquí.

Answer 2

$$(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)$$ $$(x^2+2)^2-6x(x^2+2)+8x^2=0$$ Dejemos que $x^2+2=U, x=V$ . Entonces $$U^2-6UV+8V^2=0$$ Entonces $$\left(\frac UV\right)^2-6\left(\frac UV\right)+8=0$$ Entonces $\frac UV=2$ o $\frac UV=4$

$\frac {x^2+2}{x}=2$ o $\frac {x^2+2}{x}=4$

$x^2-2x+2=0$ o $x^2-4x+2=0$

$$x=2\pm \sqrt2$$

Answer 3

Por su insinuación obtenemos que es $$x^4-6x^3+12x^2-12x+4=0$$ o $$x^4-2x^3+2x^2-4x^3+8x^2-8x+2x^2-4x+4=0$$ o $$(x^2-2x+2)(x^2-4x+2)=0,$$ que da la respuesta: $$\{1+i,1-i,2+\sqrt2,2-\sqrt2\}.$$

Si no sabemos la respuesta, podemos obtener lo siguiente.

Para todos los reales $k$ que tenemos: $$x^4-6x^3+12x^2-12x+4=$$ $$=(x^2-3x+k)^2-9x^2-k^2+6kx-2kx^2+12x^2-12x+4=$$ $$=(x^2-3x+k)-2kx^2+3x^2+6kx-12x-k^2+4=$$ $$=(x^2-3x+k)^2-((2k-3)x^2-(6k-12)x+k^2-4).$$ Ahora, tenemos que elegir un valor de $k$ tal que $(2k-3)x^2-(6k-12)x+k^2-4=(ax+b)^2$ y vemos que $k=2$ es válido.

Así, $$x^4-6x^3+12x^2-12x+4=(x^2-3x+2)^2-x^2=(x^2-4x+2)(x^2-2x+2)$$ y el resto que viste.

La mejor manera es la sustitución $x^2+2=t$ .

Answer 4

El truco de esto es el "cuadrado completo". Añade $x^2$ a ambos lados primero, y mueve el $6x(x^2+2)$ al lado izquierdo de la ecuación:

$(x^2+2)^2 - 2\cdot (x^2+2)\cdot 3x + (3x)^2 = x^2\implies ((x^2+2) - 3x)^2 = x^2$ y tienes la forma $A^2 = B^2$ y ya sabes como llevarlo desde aquí....