¿Dos conjuntos de niveles distintos determinan un polinomio complejo no constante?

Question

Deje $f$ $g$ no ser constante complejas de polinomios en una variable. Deje $a\neq b$ ser números complejos y supongamos $f^{-1}(a)=g^{-1}(a)$$f^{-1}(b)=g^{-1}(b)$. ¿Esto implica $f=g$?

Si pensamos que de la totalidad de funciones en lugar de polinomios, la respuesta es negativa: tome $e^{-z}$ $e^{z}$ y que comparten el mismo nivel sets por 0 y 1. De manera más general, Nevanlinna 5-valores teorema dice que el 5 conjuntos de nivel completamente determinar un no-constante de la función de meromorphic. Podemos bajar este número cuando se trata con polinomios?

Answer 1

SUGERENCIA: ¿cuántos ceros hace el polinomio $f-g$?

EDIT: Supongamos $\deg(f)\ge \deg(g)$. Considere cuántas raíces $f'$. La cuenta de cuántos raíces $f-g$ puede tener.

ADEMÁS EDIT: OK, vamos a decir $\deg f = n \ge \deg g$. Decir que hay un $k$ elementos en $f^{-1}(a)=g^{-1}(a)$ $\ell$ elementos en $f^{-1}(b)=g^{-1}(b)$. Suponiendo $f\ne g$, $f-g$ tiene el grado $n$. Desde $f-g$ tiene al menos $k+\ell$ raíces (con diferentes multiplicidades), podemos inferir que $k+\ell\le n$.

Por otro lado, cada solución de $f=a$ o $f=b$ con multiplicidad $\mu>1$ contribuye un cero de orden $\mu-1$$f'$. Por lo tanto, tenemos $$\deg f' = n-1\ge (n-k)+(n-\ell), \tag{$\estrella de$}$$ y por lo $n\le k+\ell-1$. Esta contradicción nos da la conclusión de que $f=g$.

Para justificar ($\star$), escribe, por ejemplo, $f(z)-a = \prod\limits_{j=1}^k (z-\alpha_j)^{\mu_j}$. A continuación,$\sum\limits_{j=1}^k \mu_j = n$$\sum\limits_{j=1}^k (\mu_j-1) = n-k$.

Answer 2

Un polinomio de grado$n \geqslant 1$ alcanza cada valor complejo exactamente$n$ veces, contando multiplicidades. Entonces, si no se alcanza ni$a$ ni$b$ con multiplicidad$> 1$ en ningún punto, el conjunto$f^{-1}(a) \cup f^{-1}(b)$ tiene$2\deg f$ elementos. ¿Cuántos menos puede tener si$a$ o$b$ se alcanza con la multiplicidad$> 1$ en algunos puntos?