¿Cómo calculo mal la suma telescópica$\log(\frac{n+1}{n})$?

Question

Todos los valores de$a_n = \log(\tfrac{n+1}{n})$ deben ser positivos ya que$\tfrac{n+1}{n} > 1$. Por lo tanto,$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ debe ser mayor que$0$.

Sin embargo, cuando lo calculo como una suma telescópica, parece mostrar que es igual a$0$:

\begin{align*} \sum_{n = 1}^{\infty} \log(\tfrac{n+1}{n}) &= \sum_{n = 1}^{\infty} -\log(n) + \log(n+1)\\ &= -\log(1) + \log(2) - \log(2) + \log(3) - \log(3) + \log(4) ...\\ &= -\log(1)\\ &= 0 \end{align*}

Entonces, ¿dónde voy mal?

Answer 1

$$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (\ tfrac {n +1} {n}) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} - \ log (n) + \ log (n +1) = \ lim_ {n \ to \ infty} (- \ log (1) + \ log (2) - \ log (2) + \ log (3) - \ log (3) + \ log ( 4) ... = - \ log (1) + ... + \ log (n-1) - \ log (n-1) + \ log (n)) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ log (n) $$

Siempre hay un último$\log(n)$ que no se está restando a menos que agregue otro$(-\log(n)+\log(n+1))$, pero luego queda$\log(n+1)$ .. Así que el resultado final será$$\sum_{n = 1}^{\infty} \log(\tfrac{n+1}{n})=\lim_{n\to\infty} \log(n) = \infty$ $

Answer 2

Para$x>-1$ tenemos$$\frac{x}{1+x}<\log(1+x)$$ Therefore$$\sum\frac{\frac1n}{1+\frac1n}<\sum \log\frac{n+1}{n}$$ Since $$\sum\frac{\frac1n}{1+\frac1n}=\sum\frac{1}{1+n}$ $ diverges, su suma también lo hace.

Answer 3

La notación $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, sólo significa que el límite de $\lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^k a_n$ y es una manera de hacer sentido de expresiones como $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$, que son formalmente sin sentido. Esto es porque la suma, y otra operación, sólo se definen por un número finito de operando: $$a_0 + a_1 + a_2 := (a_0 + a_1) + a_2 = a_0 + (a_1 + a_2)$$

Si usted manipula directamente de una suma infinitamente muchos términos que usted puede terminar para arriba con los más sorprendentes y extraños resultados. Ver esto por ejemplo.

En general no se puede fácilmente calcular este límite, pero por una suma telescópica, como usted sabe, los términos cancelar dejando una práctica de la expresión:

$$ \sum_{n=1}^{k} \log \frac{n+1}{n} = \sum_{n=1}^{k} [\log (n+1) - \log n ] = \log 2 - \log 1 + \log 3 - \log 2 + \\ +\dots + \log(k-1+1)-\log(k-1) + \log(k+1)-\log k = \log (k+1) $$

Así, el resultado es $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \log \frac{n+1}{n} = \lim_{k \+\infty} \sum_{n=1}^{k} \log \frac{n+1}{n} = \lim_{k \to \infty} \log (k+1) = +\infty $$