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Motivación de los multiplicadores de Schur

¿Para qué sirven los multiplicadores de Schur?

Probablemente debería aclarar lo que quiero. He aquí una historia instructiva de cómo llegué a apreciar las representaciones y caracteres complejos de los grupos. Básicamente, siempre sentí que era algo que debía aprender, un tema "de moda" "guay". Pero eso no era real interés. El verdadero interés vino cuando me enteré de Burnside teorema pq . Este es un hecho genial que no menciona explícitamente las representaciones, pero necesitas usar representaciones para demostrarlo. Esto es suficiente motivación para que me interese de verdad.

¿Existe algo similar para los multiplicadores de Schur (o la (co)homología de grupo en general)? ¿Hay algún problema clásico que no se pueda resolver sin utilizar la homología de grupo, pero que no tenga que ver con la homología en sí? Cualquier sugerencia será bienvenida.

Además, si conoce algún libro que pueda responder a mi pregunta, por favor, dígamelo.

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Andreas Caranti Puntos 35676

No se trata de grupos, sino de álgebras de Lie. Por favor, tenga en cuenta que soy un teórico de grupos, que se aventuró en el campo de las álgebras de Lie gradadas (sobre los enteros positivos), descubriendo que no se parecen demasiado a los grupos (residualmente) nilpotentes.

De todos modos, estaba estudiando ciertas álgebras de bucles retorcidos, tratando de demostrar que eran finitamente presentadas. Resultó que no lo eran. Y la razón era que el álgebra de Lie de dimensión finita de la que partía tenía un multiplicador de Schur no trivial. Este multiplicador de Schur seguía apareciendo en cada iteración del bucle, haciendo imposible una presentación finita.

Así que mi moraleja de esta pequeña historia es que estudies los multiplicadores de Schur porque no puedes evitarlos: aparecen mientras haces otras cosas, así que será mejor que los afrontes.

Para abordar más directamente su pregunta, sin embargo, hay resultados como el teorema de Schur-Zassenhaus, o el resultado de Gaschütz que un no-abelian, finito $p$ -grupo tiene un automorfismo exterior, que se benefician del uso de la cohomología.

4voto

Rakshya Puntos 11

Puede encontrar muchas aplicaciones de la cohomología en el libro

K.Brown, Cohomología de grupos,

en particular, en ejercicios (hay traducción al ruso).

En cuanto al multiplicador de Schur, hay un libro muy completo

Karpilovsky, Gregory: The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987

(está en Internet).

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