Problema geométrico extremadamente duro

Question

Dado un triángulo ABC. BL es la bisectriz del ángulo ABC, H es el ortocentro y P es el punto medio de AC. PH se interseca con BL en Q. Si$\angle ABC= \beta $, encuentre la proporción$PQ:HQ$. Si$QR\perp BC$ y$QS \perp AB$, pruebe que el ortocentro se encuentra en$RS$.

Answer 1

En las figuras a continuación, he añadido el circuncentro, $U$, y el centroide, $E$. También he colocado $L$ sobre la circunferencia circunscrita.

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Tenga en cuenta que dado que ambos son perpendiculares a$\overline{AC}$,$\overline{BH}\,||\,\overline{UP}$; además, $|\overline{BH}|=2|\overline{UP}|$. El último es debido a que $\triangle PUE$ es similar a $\triangle BHE$ y $$ P=\frac{A+C}{2}\text{ y }E=\frac{A+B+C}{3}\etiqueta{1} $$ así que $$ P-E=\frac{A-2B+C}{6}\text{ y }E-B=\frac{A-2B+C}{3}\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ |\overline{UP}|=R\cos(B)\text{ y }|\overline{BH}|=2R\cos(B)\etiqueta{3} $$ donde $R$ es el circunradio de $\triangle ABC$.

Desde la línea que contiene a $\overline{UP}$ es la mediatriz de $\overline{AC}$, el punto en el que $\overrightarrow{UP}$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ se divide el arco entre $A$ $C$ en la mitad. Por supuesto, la bisectriz de $\angle ABC$ también se divide el arco entre $A$ $C$ en la mitad. Por lo tanto, la perpindicular bisectriz de $\overline{AC}$ y la bisectriz de $\angle ABC$ reunirse en la circunferencia circunscrita a $L$.

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Tenga en cuenta que $\triangle BHQ$ es similar a $\triangle LPQ$. La ecuación de $(3)$ da $|\overline{UP}|=R\cos(B)$, de modo que $$ |\overline{PL}|=R(1-\cos(B))\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, $(3)$ $(4)$ de rendimiento $$ \begin{align} |\overline{HQ}|/|\overline{PQ}| &=|\overline{BQ}|/|\overline{LQ}|\\ &=|\overline{HB}|/|\overline{PL}|\\ &=\frac{2\cos(B)}{1-\cos(B)}\tag{5} \end{align} $$ cuáles son las respuestas de la primera parte.

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Debido a $\triangle BUL$ es isósceles con ángulo central $2A+B=\pi-(C-A)$, tenemos $$ |\overline{BL}|=2R\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)=2R\cos\left(\frac{C}{2}\right)\etiqueta{6} $$ La ecuación de $(5)$ rendimientos que $|\overline{BQ}|/|\overline{BL}|=\frac{2\cos(B)}{1+\cos(B)}$. Por lo tanto, $(6)$ da $$ |\overline{BQ}|=2R\cos\left(\frac{C}{2}\right)\frac{2\cos(B)}{1+\cos(B)}\etiqueta{7} $$ Deje $X$ ser la intersección de $\overline{BQ}$$\overline{RS}$. Desde $X$ está en la bisectriz de un ángulo de $\angle ABC$, $\overline{RS}$ es perpendicular a $\overline{BQ}$$|\overline{BR}|=|\overline{BS}|$. Por lo tanto, $|\overline{BR}|/|\overline{BQ}|=|\overline{BX}|/|\overline{BR}|=\cos(B/2)$. Por lo tanto, $$ \frac{|\overline{BX}|}{|\overline{BQ}|}=\cos^2(B/2)=\frac{1+\cos(B)}{2}\etiqueta{8} $$ Ecuaciones $(7)$ $(8)$ de rendimiento $$ |\overline{BX}|=2R\cos\left(\frac{C}{2}\right)\cos(B)\etiqueta{9} $$ Desde $\angle HBC=\frac\pi2-C$ $\angle QBC=\frac{B}{2}$ tenemos que $\angle HBQ=\frac{C-A}{2}$. El uso de $(3)$, la proyección ortogonal de a $\overline{BH}$ a $\overline{BQ}$ tiene una longitud de es $2R\cos(B)\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)$. Por lo tanto, la proyección ortogonal de a $H$ a $\overline{BQ}$$X$. Por lo tanto, $H$ se encuentra en $\overline{RS}$.