Sí, esta es otra de las "fundacional" de la pregunta en la valoración de la teoría.
Este es el trasfondo: es bien conocida la clásica hecho de que la dimensión (en el puramente algebraica sentido) de un verdadero espacio de Banach no puede ser countably infinito. La prueba es una simple aplicación de la Categoría de Baire Teorema: ver, por ejemplo,
Supongamos ahora que $(K,| \ |)$ es un no-Arquímedes (edit: no trivial) normativa de campo. Uno tiene la idea de una $K$-espacio de Banach, y la Categoría de Baire Teorema de argumento funciona pie de la letra para mostrar que una cosa no puede tener countably infinito $K$-dimensión.
Ahora vamos a $\overline{K}$ ser una expresión algebraica cierre de $K$. A continuación,$\overline{K}$, por virtud de ser un directo de límite finito-dimensional de la normativa de espacios en todo el campo $K$, tiene una canónica de la topología, y, de hecho, un único multiplicativo de la norma que se extiende $|\ |$$K$.
Mi pregunta es: ¿existe una completa normativa campo $(K, | \ |)$ tal forma que:
(i) $[\overline{K}:K] = \infty$ y
(ii) $\overline{K}$ es completa con respecto a sus normas?
Como con una pregunta anterior, no es demasiado difícil ver que esto no sucede en la mayoría de los casos familiares. De hecho, por las consideraciones anteriores, esto sólo puede suceder si $[\overline{K}:K]$ es incontable. Pero $[\overline{K}:K]$ será contables si $K$ tiene una contables densa subcampo $F$ [para estar absolutamente seguro, permítanme también requieren que $F$ es perfecto]. De hecho, la clausura algebraica de cualquier infinito campo tiene la misma cardinalidad del campo, por lo $\overline{F}$ puede ser obtenida por contigua raíces de una contables de la colección de separables polinomios $P_i(t) \in F[t]$. Se sigue de Krasner del Lema que por contigua a $K$ las raíces de estos polinomios uno se $\overline{K}$.
¿Y el caso general?
