Entender el producto semidirecto

Question

Estoy tratando de motivar la definición de un producto semidirecto, y parece que viene de ejemplos geométricos. Algunos clásicos son

$D_{2n} \cong Z_n \rtimes Z_2$

$E(n) \cong R^2 \rtimes O(2)$

$O(n) \cong SO(n) \rtimes Z_2$

Parece que el grupo que está haciendo la actuación, en cierto modo, mantiene la "orientación" del grupo sobre el que se está actuando. ¿Puede alguien proporcionar una buena referencia para entender estos ejemplos, o una explicación?

Answer 1

Creo que la mejor manera de entender el producto semidirecto no es a través de la geometría, sino a través del álgebra pura. Este es mi punto de vista que prefiero (explicado en detalle en el Dummit & Foote).

Dados dos subgrupos de un grupo $G$ tal que $H$ es normal en $G$ , $HK = G$ y $H \cap K = \{1\}$ se puede deducir que cualquier elemento $g \in G$ tiene una expresión única de la forma $g = hk$ , donde $h$ y $k$ están determinados de forma única por $g$ . Ahora bien, si intentamos multiplicar dos elementos del grupo, entonces $$ g_1 g_2 = (h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = (h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1})) (k_1 k_2) = h_3 k_3 $$ De esta manera, por unicidad tenemos $k_1 k_2 = k_3$ pero $h_3 = h_1 \varphi_{k_1}(h_2)$ , donde $\varphi_{k_1}$ le da la forma en que " $K$ actúa sobre $H$ ". Ahora $k_1$ es (excepto si es la identidad) no un elemento de $H$ por lo que no podemos decir que obtengamos elementos por conjugación en general; cuando se construye el producto semidirecto, la conjugación por un elemento de $K$ se sustituye por automorfismos, y para imitar este caso utilizamos la definición abstracta con el homomorfismo $\varphi : K \to \mathrm{Aut}(H)$ pero eso es esencialmente lo que hay detrás de la idea; se obtiene un producto "casi directo".

Espero que eso ayude,

Answer 2

Dejemos que $G$ sea un grupo y que $S$ ser un torsor en $G$ ; se trata de un conjunto en el que $G$ actúa de forma isomorfa (no canónica) a la acción de $G$ por multiplicación a la izquierda sobre sí mismo, y es una generalización natural de un espacio afín. Por ejemplo:

• $n$ -espacio euclidiano es un torsor sobre $\mathbb{R}^n$ .
• El conjunto de órdenes totales sobre un conjunto de tamaño $n$ es un torsor sobre el grupo simétrico $S_n$ .
• El conjunto de posibles ubicaciones de un error en algún vértice de un $n$ -es un torsor sobre el grupo cíclico $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Entonces $S$ hereda naturalmente $G$ como grupo de automorfismos (como set ). Ahora dejemos que $H$ sea un subgrupo de $\text{Aut}(G)$ . A continuación, elegir un elemento $s \in S$ también nos permite identificar $G$ con $S$ (a través del mapa $g \mapsto gs$ ), por lo que define una acción de $H$ en $S$ pero esta acción depende de la elección de $s$ .

El subgrupo de $\text{Aut}(S)$ (de nuevo, como un conjunto) generado por $G$ y $H$ es el producto semidirecto $G \rtimes H$ (independientemente de la elección de $s$ ejercicio). Obsérvese el significado geométrico del caso $G = \mathbb{R}^n, H = \text{O}(n)$ .

(Por supuesto, en general el homomorfismo $H \to \text{Aut}(G)$ no es inyectiva, pero creo que el significado geométrico es más claro cuando lo es. En general, tal vez sea apropiada una perspectiva más algebraica; busque "secuencia exacta dividida").