Cada matriz real$A$ es la combinación lineal de$4$ matrices ortogonales

Question

Pregunta:

Demostrar que toda matriz $A\in M_n(\mathbb R)$ es la combinación lineal de los $4$ ortogonal de matrices $X, Y, Z, W$ , es decir, $A=aX+bY+cZ+dW$ para algunos $a,b,c,d\in\mathbb R$.

Este problema está tomado de un foro y este es mi paráfrasis. No es obviamente cierto. Pero creo que la prueba debe invocar el singular valor de la descomposición (SVD) de un real de la matriz, pero no está claro para mí lo que el siguiente paso es. Cualquier idea se agradece. Muchas gracias.

Answer 1

En vista de la enfermedad vesicular porcina, podemos suponer que la $A\neq 0$ e $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$ tal que $\lambda_i$'s son no negativos, y $\lambda_n$ es el más grande entre los $\lambda_i$'s.

Bajo este supuesto, tenemos $\lambda_n > 0$. Ahora escribo $\lambda_{2i-1} = a_i - b_i$ e $\lambda_{2i} = a_i + b_i$. En el caso de $n$ es impar, se $a_{(n+1)/2} = 2\lambda_n$ e $b_{(n+1)/2} = \lambda_n$. Esto le da

$$ A = \operatorname{diag}(a_1, a_1, a_2, a_2, \cdots) - \operatorname{diag}(b_1, -b_1, b_2, -b_2, \cdots). $$

Ahora nos damos cuenta de que $|a_i| \leq 2\lambda_n$ e $|b_i| \leq \lambda_n$, aod así, existen $\alpha_i$ e $\beta_i$ tal que $a_i = 2\lambda_n \cos\alpha_i$ e $b_i = \lambda_n \cos\beta_i$. Ahora, el truco es considerar las matrices

$$ R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad S_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos \theta \end{pmatrix}. $$

A continuación, ambos $R_\theta$ e $S_\theta$ son ortogonales. Por otra parte, hemos

$$R_\theta + R_{-\theta} = (2 \cos\theta) \operatorname{diag}(1, 1) \qquad \text{and} \qquad S_\theta + S_{-\theta} = (2 \cos\theta) \operatorname{diag}(1, -1).$$

Ahora con esto, podemos escribir

$$ \operatorname{diag}(a_1, a_1, a_2, a_2, \cdots) = \lambda_n \begin{pmatrix} R_{\alpha_1} & & \\ & R_{\alpha_2} & \\ & & \ddots \end{pmatrix} + \lambda_n \begin{pmatrix} R_{-\alpha_1} & & \\ & R_{-\alpha_2} & \\ & & \ddots \end{pmatrix} $$

y

$$ \operatorname{diag}(b_1, -b_1, b_2, -b_2, \cdots) = \frac{\lambda_n}{2} \begin{pmatrix} S_{\beta_1} & & \\ & S_{\beta_2} & \\ & & \ddots \end{pmatrix} + \frac{\lambda_n}{2} \begin{pmatrix} S_{-\beta_1} & & \\ & S_{-\beta_2} & \\ & & \ddots \end{pmatrix}. $$

Cuando $n$ es impar, el último bloque en la diagonal en cada bloque de la matriz es el $1\times 1$ matriz con la entrada de $1$. Ahora bien, todas estas cuatro bloque de matrices son ortogonales, y por lo tanto el deseado de demanda de la siguiente manera.

Answer 2

Véase la proposición 1 de Chi-Kwong Li y Edward Poon, Descomposición aditiva de matrices reales , Álgebra lineal y multilineal, 50 (4): 321-326, 2002.

Mi memoria es un poco confusa, pero si recuerdo correctamente, el límite más bajo del número de matrices ortogonales necesario fue un problema abierto hace dos décadas. El documento de Li y Poon anterior muestra que se necesitan como máximo cuatro, pero no se sabía si tres son suficientes.