Una matriz$5\times 5$ sin valores propios.

Question

Se puede observar que una matriz de orden $5$ sobre $\mathbb{R}$ tiene al menos un autovalor de a$\mathbb{R}$.

Lo que si consideramos un campo finito?

Por ejemplo, más de $\mathbb{Z}_2$, una matriz de tener polinomio característico $x^4(x-1)+1$ no tiene un autovalor de a$\mathbb{Z}_2$.

Puede una matriz de existir?

Answer 1

Dado cualquier polinomio $f$ sobre un campo $F$, siempre se puede construir un compañero de la matriz de más de $F$ cuyo polinomio característico y un mínimo de polinomio son iguales a $f$. (Otras propiedades de $f$, como si $f$ tiene un cero en $F$o si $f$ es irreducible sobre $F$, son irrelevantes.) En su caso, $x^4(x-1)+1=x^5-x^4+1$ es el polinomio característico de la matriz $$C=\pmatrix{ 0&0&0&0&-1\\ 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&1}.$$