Confundido acerca de la división de 2 en$\mathbb{Q}(i).$

Question

¿Cómo podemos dividir 2 en el cyclotomic anillo de $S = \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]?$ Claramente el campo de $\mathbb{Q}(i)$ es un grado 2 de extensión normal. Sin embargo, $(2)$ en $S$ es igual a $(2) = (1 - i)^2.$ por Lo tanto, el ideal no puede dividir nunca más, así que podemos deducir que $(1 - i)$ es de hecho un alojamiento ideal. Pero $S$ es un dominio de Dedekind y $(1 - i)$ no es un ideal maximal...digo esto porque en $S/(1 - i) \cong \mathbb{Z}.$ no me asumir, erróneamente, que $\mathbb{Z}[i]/(1 - i) \cong \mathbb{Z}?$

Answer 1

Eso es porque es un ramificaciones del ideal, no una división ideal. En cualquier momento usted tiene $\langle p \rangle = \mathfrak P^2$ en $\textbf Q(\sqrt d)$, lo ideal es ramificaciones del lugar de la división.

Esto es más fácil de ver cuando se $\gcd(p, d) > 1$. Por ejemplo, considere la posibilidad de $\langle 13 \rangle$ en $\textbf Z[\sqrt{-13}]$. Obviamente $(-1)(\sqrt{-13})^2 = 13$ e lo $\langle 13 \rangle = \langle \sqrt{-13} \rangle^2$.

Es mucho menos evidente que la que $\langle 2 \rangle = \langle 2, 1 + \sqrt{-13} \rangle^2$. Desde $(1 - \sqrt{-13})(1 + \sqrt{-13}) = 14$, uno podría pensar que la $\langle 2 \rangle$ se divide. Sin embargo, desde la $\langle 2, 1 + \sqrt{-13} \rangle$ consiste de todos los números de la forma $2x + (y + y \sqrt{-13})$, donde ambos se $x$ e $y$ son cifras arbitrarias en $\textbf Z[\sqrt{-13}]$, se deduce que el $\langle 1 - \sqrt{-13} \rangle \subset \langle 2, 1 + \sqrt{-13} \rangle$ desde $2(-\sqrt{-13}) + (1 + \sqrt{-13}) = 1 - \sqrt{-13}$, lo que confirma que $\langle 2 \rangle = \langle 2, 1 + \sqrt{-13} \rangle^2$. Podríamos fácilmente, se expresa en $\langle 2 \rangle = \langle 2, 1 - \sqrt{-13} \rangle^2$ si queremos.

De curso $\textbf Z[\sqrt{-1}]$ "disfruta" factorización única (un tonto elección de la palabra), simplificar enormemente las cosas para nosotros. Desde $(1 - i)(1 + i) = 2$ más que algunos aún mayor número compuesto...

Creo que es mejor parar allí, ya que yo acababa de estar repitiendo Robert respuesta. A excepción de este punto sobre ramificada y la división, creo que la respuesta de Robert y David comentario de cubrir casi todo. (David ninguna relación conmigo). Bien, hay un punto que todavía falta...

Answer 2

$\langle 1 - i \rangle$ es de hecho un ideal maximal. Hacer notar que $\langle 1 - i \rangle \subseteq \langle 1 + i \rangle$ desde $$\frac{1 - i}{1 + i} = -i.$$ Wait, did I get dyslexic? $$\frac{1 + i}{1 - i} = i.$$ So in fact $\langle 1 - i \rangle = \langle 1 + i \rangle$.

Además, este ideal contiene cada Gaussiana entero, incluso de la norma, pero no Gaussiano entero impar norma.

Agregar 1 para cualquier entero Gaussiano incluso de la norma y se obtiene una Gaussiana entero impar norma. Agregar 1 nuevo y tiene otro de Gauss entero, incluso de la norma.

Por lo tanto, $\langle 1 - i \rangle$ es tan grande como sea posible sin ser el todo el anillo. Libro de texto ideal maximal.