Pregunta sobre las restricciones holonómicas

Question

Goldstein dice que cuando un sistema de $N$ partículas está sujeta a $k$ restricciones holonómicas, las posiciones $\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N$ puede parametrizarse mediante $3N - k$ coordenadas independientes $q_1, \dots, q_{3N - k}$ y el tiempo. Luego dice que:

Siempre se supone que también podemos transformar de nuevo desde el ( $q_i$ ) a la ( $\mathbf{r}_l$ ), es decir, que [las parametrizaciones] combinadas con el $k$ Las ecuaciones de la restricción pueden invertirse para obtener cualquier $q_i$ en función del ( $\mathbf{r}_l$ ) y el tiempo.

Mi pregunta: ¿Por qué necesitamos el $k$ ecuaciones de restricción? Me parece que toda la información de la restricción se almacena en las parametrizaciones de $\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N$ . ¿No?

Answer 1

Es un resultado fundamental $^1$ en la teoría de incrustado submanifolds diferenciables que pueden describirse de forma equivalente

• localmente $^2$ como un submanifold/gráfico parametrizado,

• o localmente como un submanifold restringido.

Ejemplo: Una elipse en el plano 2D puede ser descrita por una parametrización $(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$ o mediante una restricción $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ .

Dependiendo de la aplicación, ambas descripciones pueden ser útiles. Si una de las descripciones falla, significa que no se cumplen algunas de las condiciones técnicas de regularidad (que en la mayoría de los casos se asumen implícitamente en Goldstein), cf. por ejemplo este & este Mensajes de Phys.SE.

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$^1$ Este resultado se incluye en cualquier libro de texto decente sobre geometría diferencial (DG). (Véase, por ejemplo, la Proposición 3.2.1 en Ben Andrews, Conferencias sobre GD .) La principal herramienta en su prueba es el teorema de la función inversa .

$^2$ La palabra "localmente" aquí significa "en un barrio abierto".

Answer 2

Yo lo entiendo así:

Ejemplo: una partícula con coordenadas de esfera (parámetro $r\,,\theta\,,\varphi$ )

$$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} x\\ y\\ z\end {array} \right] =\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]\tag 1$$

podemos resolver la ecuación (1) para $r\,,\theta\,,\varphi$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag 2$$ $$\theta=\arctan(x/y)\tag 3 $$ $$\varphi=\frac{z}{x^2+y^2}\tag 4$$

la ecuación de restricción

$$r^2-l^2\cos^2(\varphi)\cos(\theta)=0\tag 5$$

ahora podemos elegir las coordenadas generalizadas:

si resolvemos la ecuación (5) para $r$ entonces obtenemos (3) $\quad q_1(x,y)=\theta$ y (4) $\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

si resolvemos la ecuación (5) para $\theta$ entonces obtenemos (2) $\quad q_1(x,y,z)=r$ y (4) $\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

y

si resolvemos la ecuación (5) para $\varphi$ entonces obtenemos (2) $\quad q_1(x,y,z)=r$ y (3) $\quad q_2(x,y)=\theta$

obtenemos siempre un resultado único para $q_1(x,y,z)$ y $q_2(x,y,z)$ y utilizamos la "inversa" del vector de posición y la ecuación restringida.

Answer 3

I piense en que el autor sólo se refiere a "ellos" como los números que tienes para las diferentes variables $Q=\{q_i\}$ mientras que tienes razón en que estos números sólo tienen sentido en este contexto a través de sus parametrizaciones $\mathbf r_i(Q)$ y si se entiende la frase de esa manera se está expresando una tautología y no se necesita más información.

Dicho esto, si tuvieras un sistema realmente simple, probablemente haya algunos casos degenerados en los que sólo las ecuaciones para esos parámetros no sean invertibles sin conocer completamente las restricciones. Por ejemplo, podríamos tener dos partículas que viven en 2D, una de ellas está obligada a vivir en la línea $x=0$ y el otro se ve obligado a vivir en la línea $y=0$ y digamos que están unidos por un muelle con longitud de reposo $\ell$ . Sabemos que podemos describir este sistema con dos variables $(x, y)$ y el mapeo de $(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \mapsto (x, y)$ va a ser $$\big([x_1, y_1], [x_2, y_2]\big) \mapsto (x_1, y_2)$$ pero al descubrir que $x_2=0, y_2=0$ no es posible directamente dada esta función; no es invertible.

Pero, dicho esto, esta es una forma poco natural de describirlo. Lo más natural es $\mathbf r_i(Q)$ manera es, en efecto, especificar $$\mathbf r_1(x, y) = [x, 0]\\\mathbf r_2(x, y) = [0, y]$$ y esto efectivamente incorpora las restricciones y, por lo tanto, no se necesita ninguna otra referencia a las restricciones para utilizar el $x,y$ para determinar las posiciones.

Answer 4

Respuesta

Necesitamos k ecuaciones de restricción porque necesitamos encontrar 3N variables y no tenemos 3N ecuaciones de coordenadas independientes sino sólo 3N-K ( de q3N-k ), las k restricciones (recordando que limitaciones son relaciones entre las variables de posición (y posiblemente de tiempo) Goldstein Classical Mechanics 3ED p. 12) proporcionará un conjunto de k ecuaciones que junto con las 3N-K ecuaciones de coordenadas independientes formarán un conjunto que hace que el sistema esté determinado de forma única (número de ecuaciones igual al número de variables desconocidas).

OBS:

el espacio local es El espacio-tiempo de Minkowsk por lo que se requiere la coordenada del tiempo. Nuestro problema se reduce a descubrir 3 coordenadas del espacio local para cada partícula.

como estamos tratando con dos sistemas de espacio (local y generalizado) necesitaremos garantizar la transformada inversa, la transformada de vuelta está asegurada en el sistema holonómico.

Se define el sistema holonómico en cambio de la definición de sistema no holonómico dada por Hertz (Los sistemas no holonómicos son sistemas en los que las condiciones cinemáticas dan sólo relaciones entre diferenciales de las coordenadas y no como relaciones finitas entre las coordenadas mismas) por lo tanto, los sistemas holonómicos siempre tienen integrable funciones diferenciales F/(qi )dqi (i = 1 a 3N-k) que permiten la transformación inversa.

Recordando - En el sistema holonómico k restricciones conduce a la reducción a 3N-k coordenadas independientes o equivalentemente a rN funciones con k restricciones implícitas (Goldstein Classical Mechanics 3ED p. 13), Por lo tanto, rN funciones no linealmente independientes, sino que equivalen a 3N-k conjuntos de ecuaciones linealmente independientes en el espacio generalizado qi. Las k restricciones permiten eliminar las variables dependientes.