Verificación de la derivación de una expresión algebraica

Question

Este problema proviene de una Hilo MathOverFlow . Dentro del hilo el usuario Per Alexandersson menciona cómo aprendieron una técnica para "simplificar" $\sqrt{7+\sqrt{3}}$ del libro Álgebra para principiantes, por Todhunter .

Greg Martin respondió con la siguiente fórmula:

$\sqrt{a+\sqrt b} = \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{{2}}}+\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{{2}}}$

Tengo tres preguntas al respecto,

Pregunta 1: ¿Es correcta la siguiente derivación? Si no es así, ¿podría alguien mostrarme cómo arreglarlo?

Derivación:

\begin {align} \sqrt {a+ \sqrt b} &= \sqrt { \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{{2}}+ \sqrt { \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{{2}} \\ \left ( \sqrt {a+ \sqrt b} \right )^{2} &= \bigg ( \sqrt { \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{{2}}+ \sqrt { \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{{2}} \bigg )^{2} \\ {a+ \sqrt b} &= \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{{2}} + 2 \bigg ( \sqrt { \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{{2}} \sqrt { \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{{2}} \bigg ) + \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{{2}} \\ {a+ \sqrt b} &= \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{{2}} + \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{{2}} + 2 \bigg ( \sqrt { \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{2} \cdot \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{2}} \bigg ) \\ {a+ \sqrt b} &= \frac {a- \sqrt {a^2-b}+a+ \sqrt {a^2-b}}{2}+ 2 \bigg ( \frac { \sqrt {b}}{ \sqrt {4}} \bigg ) \\ {a+ \sqrt b} &= \frac {2a}{2} + 2 \bigg ( \frac { \sqrt {b}}{2} \bigg ) \\ {a+ \sqrt b} &= a + \sqrt {b} \end {align}

Pregunta 2: Supongo que lo anterior es si cada paso es reversible. Pero mi pregunta es (asumiendo que la derivación es correcta), ¿cómo sabemos que cada paso es reversible cuando hay raíces cuadradas involucradas?

Pregunta 3: Independientemente de si la derivación anterior es correcta o no, ¿podría alguien mostrarme otra derivación e incluir los pasos/explicaciones de cómo son iguales? Me imagino que otro enfoque podría iluminarme en cuanto a cómo se derivó la expresión más larga de $\sqrt{a+\sqrt b}$ .

Answer 1

La ecuación $$\sqrt{a \pm \sqrt b} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{{2}}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{{2}}} \tag{1}$$

son en realidad dos ecuaciones con la elección adecuada de los signos. Lo que queremos decir con esto es que cada raíz cuadrada de un real positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo.

Hay una raíz cuadrada en el lado izquierdo y en el lado derecho está la suma/diferencia de dos raíces cuadradas. Pero dado $\,0<b<a^2\,$ positivo y la raíz cuadrada positiva de la izquierda, entonces la primera raíz cuadrada de la derecha es mayor que la segunda raíz cuadrada. Su suma debe ser igual a la raíz cuadrada de la izquierda con el $+$ y la diferencia debe ser la misma que con el $-$ signo.

Cuando sustituimos $\,b\,$ con $\,-b,\,$ ecuación $(1)$ se convierte en

$$\sqrt{a \pm \sqrt -b} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 +b}}{{2}}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2+b}}{{2}}} \tag{2}$$

que es la conocida fórmula de la raíz cuadrada de un número complejo. En ambos casos, las ecuaciones pueden verificarse elevando al cuadrado ambos lados y simplificando y contabilizando las raíces cuadradas negativas según sea necesario.

Answer 2

Respuesta 1: Tus pensamientos son correctos.

Respuesta 2: Si la señal de ambos lados es igual, entonces el paso de elevar al cuadrado ambos lados (digamos, el primer paso de tu prueba) es invertible.

Respuesta 3: La forma en que el autor espera que usted derive esta ecuación podría ser encontrar un $x$ y $y$ tal que $$ \begin{align} x^2+y^2&=2a\tag{1}\label{1},\\ xy&=\sqrt{b}\tag{2}\label{2}. \end{align} $$ Entonces, $$ \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{2a+2\sqrt{b}}{2}}=\sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}+\frac{|y|}{\sqrt{2}}. $$ Así es como se simplifica $\sqrt{7+\sqrt{3}}$ . Resolver $(1)$ y $(2)$ , encontrará que el $x$ y $y$ son exactamente $\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}$ y $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}$ .