Soy nuevo en el localmente convexo espacios. Sé que si $X$ es un espacio vectorial y $S$ un conjunto irreducible de seminorms definido en $X$, $(X,S)$ es localmente convexo del espacio vectorial. La primera pregunta es, ¿cómo la convergencia se define en $(X,S)$ y cómo es una secuencia de Cauchy definido? Y segundo, sin embargo, no es claro para mí que son los elementos que están en la topología inducida por la seminorms en $S$? Si usted me podría recomendar un libro acerca de esto voy a estar agradecido.
Respuestas
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En primer lugar usted necesita para definir la topología $\mathscr{T}$ a $X$. Para cada seminorm $\rho\in S$, $\epsilon>0$, y el punto de $x\in X$, definir el open de bola $$ B(x,\rho\epsilon)=\{y\X\ |\ \rho(y-x)<\epsilon\}\ . $$ Tome la colección de todas las bolas. Que es un subbasis para la topología $\mathscr{T}$. Es decir, tomando finito intersecciones y arbitrario de los sindicatos de estas bolas de obtener todos los subconjuntos abiertos de $X$.
La convergencia se define en la forma habitual. Una secuencia $(x_n)$ en $X$ converge a algunos $x\in X$, iff $$ \forall V\ {\rm abierto\ vecindario\ de\ } x, \existe N, \forall n\ge N,\ x_n\in V $$ Igualmente sorprendente es la definición de $(x_n)$ ser de Cauchy: $$ \forall V\ {\rm abierto\ vecindario\ de\ } 0, \existe N, \forall m,n\ge N,\ x_m-x_n\en V $$
Dicho esto, un par de comentarios están en orden. En esta configuración general, las secuencias no son lo mejor para trabajar, sobre todo si $S$ es incontable. Usted debe utilizar las redes en su lugar, con definiciones similares para ser de Cauchy y la convergencia. Una buena introductorio de referencia es el libro de Osborne en "Localmente Convexo Espacios". Para ir un poco más allá, "Introducción al Análisis Funcional" por Meise y Vogt también es bueno.
Dachi Imedadze
Puntos
6
Una base para la topología en $(X,S)$ se compone de los conjuntos de la forma $$\{x \in X : \|x-x_0\|_1 < \varepsilon, \ldots, \|x-x_0\|_n < \varepsilon\}$$ para algunos $x_0 \in X$, $\varepsilon > 0$ y un conjunto finito de seminorms $\|\cdot\|_1, \ldots, \|\cdot\|_n \in S$.
El uso de este se puede mostrar que una neto $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ converge a $x \in X$ si y sólo si $\|x- x_\lambda\| \to 0$ por cada seminorm $\|\cdot\| \in S$.
Del mismo modo, una red $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ es de Cauchy si y sólo si para cada a$\varepsilon > 0$ y seminorm $\|\cdot\| \in S$ existe $\lambda_0 \in \Lambda$ tal que $\lambda, \mu \ge \lambda_0 \implies \|x_\lambda-x_\mu\| < \varepsilon$.
