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Funciones de la satisfacción de f:N N f(f(n))+f(n+1)=n+2

Encontrar todas las funciones f tal que f:N N f(f(n))+f(n+1)=n+2

Deje que nos conecte n=1

f(f(1))+f(2)=3

Ya que la función es de N a N, f(2) sólo puede tomar los valores de 1,2. Ahora dividimos el problema en los casos.

Caso 1: f(f(1))=2,f(2)=1

Podemos suponer que f(1)=c por el momento. Luego de conectar n=3 y el uso de f(2)=1 da f(3)=4c and again since the range of the function is positive integers,then 4c has to be positive and hence c belongs to {1,2,3}. Now, f(1)=c\implicaf(f(1))=f(c)2=f(c) by the assumption that f(f(1))=2 . Now,since c can only take the values 1,2,3,we start treating cases. If c=1,f(c)=2\implicaf(1)=2 but we know from the deinition of c that f(1)=c=1,a contradiction.If c=2,then 2=f(c)=f(2) but f(2)=1 by assumption. Finally,if c=3 2=f(c)=f(3) but f(3)=4c=43=1 que es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, no existen tales funciones, como en este caso.

Caso 2: f(f(1))=1,f(2)=2

De nuevo asumiendo f(1)=c y el uso de f(n)n junto con enchufar n=c1 nos dará ese f(1)=1 y, a continuación, es fácil probar que tal función existe por recursión. Sólo puedo dar un "tipo de recursivas" para definir la función. Aquí va f:NNf(1)=1f(n)=n+1f(f(n1))

Pero este caso es más difícil de manejar.La ayuda será apreciada.

4voto

Joe Gauterin Puntos 9526

Esta respuesta no intenta resolver los siguientes funcional de la ecuación del primer principio.

f(n+1)+f(f(n))=n+2, for n1

En su lugar, compruebe la función de nϕ apareció en OEIS A019446 es una solución de (1).

Para cualquier fija n1, ya que el ϕ es irracional, existe 3 números de ϵ1,ϵ2,ϵ3(0,1) tal forma que: n+1ϕ=n+1ϕ+ϵ1,nϕ=nϕ+ϵ2, y 1ϕnϕ=1ϕnϕ+ϵ3

Sustituir esto en (1), esto es equivalente a mostrar:

(n+1ϕ+ϵ1)+1ϕ(nϕ+ϵ2)+ϵ3?=n+2(1ϕ+ϵ1)+ϵ2ϕ+ϵ3?=2 Hay dos posibles casos:

  • Si ϵ2<1ϕ,

n+1ϕ>nϕ\implica1ϕ+ϵ1=ϵ2+1\implica(1ϕ+ϵ1)+ϵ2ϕ=ϕϵ2+1\en(1,2)

  • Si ϵ21ϕ, n+1ϕnϕ\implica1ϕ+ϵ1=ϵ2\implica(1ϕ+ϵ1)+ϵ2ϕ=ϕϵ2[1,ϕ)

En ambos casos, desde la ϵ3(0,1), tenemos (1ϕ+ϵ1)+ϵ2ϕ[1,2)\implica(1ϕ+ϵ1)+ϵ2ϕ+ϵ3\en(1,3) Ya que, por construcción, el lado izquierdo de esta expresión es un número entero, tiene que ser 2 y, por tanto, (1) está satisfecho.

3voto

Elaqqad Puntos 10648

Así que empezamos por el hecho de que f(k)k cualquier k y se puede determinar mediante el uso de potentes inducción en nf(n) : si hemos conocido a f(1),f(2),...,f(k), a continuación, mediante el establecimiento n=k+1 calculamos el f(k+1). (Esto ya se ha mencionado más arriba)

Pero esto (fuerte inducción) implica que f se define de forma única

Y, como se ha demostrado en la primera respuesta, La función de f(x)=[cx]+1 donde c=512 es una solución, por lo tanto, es la única solución.

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