Encontrar todas las funciones f tal que f:N→ N f(f(n))+f(n+1)=n+2
Deje que nos conecte n=1
f(f(1))+f(2)=3
Ya que la función es de N a N, f(2) sólo puede tomar los valores de 1,2. Ahora dividimos el problema en los casos.
Caso 1: f(f(1))=2,f(2)=1
Podemos suponer que f(1)=c por el momento. Luego de conectar n=3 y el uso de f(2)=1 da f(3)=4−c and again since the range of the function is positive integers,then 4−c has to be positive and hence c belongs to {1,2,3}. Now, f(1)=c\implicaf(f(1))=f(c)⟹2=f(c) by the assumption that f(f(1))=2 . Now,since c can only take the values 1,2,3,we start treating cases. If c=1,f(c)=2\implicaf(1)=2 but we know from the deinition of c that f(1)=c=1,a contradiction.If c=2,then 2=f(c)=f(2) but f(2)=1 by assumption. Finally,if c=3 2=f(c)=f(3) but f(3)=4−c=4−3=1 que es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, no existen tales funciones, como en este caso.
Caso 2: f(f(1))=1,f(2)=2
De nuevo asumiendo f(1)=c y el uso de f(n)≤n junto con enchufar n=c−1 nos dará ese f(1)=1 y, a continuación, es fácil probar que tal función existe por recursión. Sólo puedo dar un "tipo de recursivas" para definir la función. Aquí va f:N→Nf(1)=1f(n)=n+1−f(f(n−1))
Pero este caso es más difícil de manejar.La ayuda será apreciada.