Encontrar todas las funciones $f$ tal que $f:\mathbb{N}\rightarrow\ \mathbb{N}$ $f(f(n))+f(n+1)=n+2$
Deje que nos conecte $n=1$
$f(f(1))+f(2)=3$
Ya que la función es de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$, $f(2)$ sólo puede tomar los valores de $1,2$. Ahora dividimos el problema en los casos.
Caso 1: $f(f(1))=2,f(2)=1$
Podemos suponer que $f(1)=c$ por el momento. Luego de conectar $n=3$ y el uso de $f(2)=1$ da $$f(3)=4-c$$ and again since the range of the function is positive integers,then $4-c$ has to be positive and hence $c$ belongs to {$1,2,3$}. Now, $$f(1)=c$$$$\implica f(f(1))=f(c)$$$$\implies 2=f(c)$$ by the assumption that $f(f(1))=2$ . Now,since $c$ can only take the values $1,2,3$,we start treating cases. If $c=1$,$$f(c)=2$$$$\implica f(1)=2$$ but we know from the deinition of $c$ that $f(1)=c=1$,a contradiction.If $c=2$,then $2=f(c)=f(2)$ but $f(2)=1$ by assumption. Finally,if $c=3$ $$2=f(c)=f(3)$$ but $$f(3)=4-c=4-3=1$$ que es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, no existen tales funciones, como en este caso.
Caso 2: $f(f(1))=1,f(2)=2$
De nuevo asumiendo $f(1)=c$ y el uso de $f(n)\le n$ junto con enchufar $n=c-1$ nos dará ese $f(1)=1$ y, a continuación, es fácil probar que tal función existe por recursión. Sólo puedo dar un "tipo de recursivas" para definir la función. Aquí va $$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$$$$f(1)=1$$$$f(n)=n+1-f(f(n-1))$$
Pero este caso es más difícil de manejar.La ayuda será apreciada.